Problema volume della piramide con equazioni

Vorrei capire come fare questo problema sul volume della piramide con le equazioni, mi date una mano per piacere?

Calcola il volume di una piramide regolare quadrangolare che ha l'altezza di 20 cm e l'apotema uguale ai 5/6 del lato di base.

Domanda di gianni
Soluzione

Ciao Gianni :)

Una piramide regolare quadrangolare è una piramide regolare che ha come base un quadrato.

Consideriamo la formula per il volume della piramide (click per tutte le formule)

V = (S_(base)×h)/(3)

dove h indica l'altezza della piramide e S_(base) l'area della superficie di base che, essendo un quadrato, indicando il suo lato con L, è data da

S_(base) = L^2

Pertanto

V = (L^2×h)/(3)

Se riusciamo quindi a trovare la misura del lato di base e dell'altezza della piramide il gioco è fatto. Grazie ai dati forniti dal problema (indicando con a l'apotema della piramide) sappiamo che

h = 20 cm

a = (5)/(6)L

A questo punto, avendo ben presenti le formule sulla piramide regolare, possiamo scrivere una seconda relazione che lega apotema, altezza e lato di base:

(L)/(2) = √(a^2−h^2)

Sostituendo il valore noto dell'altezza e l'espressione, in funzione del lato, dell'apotema ricadiamo in un'equazione nell'incognita L^2

(L)/(2) = √((25)/(36)L^2 (a^2)−20^2 (h^2))

ossia

(L)/(2) = √((25)/(36)L^2−400)

Eleviamo ambo i membri al quadrato

(L^2)/(4) = (25)/(36)L^2−400

e portiamo le incognite a primo membro

(L^2)/(4)−(25)/(36)L^2 = −400

Eseguiamo ora la differenza tra frazioni

(9−25)/(36)L^2 = −400

(−16)/(36)L^2 = −400

Cambiamo di segno e ricaviamo il valore di L^2

L^2 = 400×(36)/(16) = 900

Abbiamo ora tutto quello che ci occorre

V = (L^2×h)/(3) = (900×20)/(3) = 6000 cm^3

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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