Esercizio con equazione differenziale del secondo ordine non omogenea

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Ciao, sapete spiegarmi come si risolve la seguente equazione differenziale del secondo ordine non omogenea? Grazie, mi aiutereste moltissimissimo!

 

y'' -2y' +y =6xe^x.

Domanda di Marcoxt92

 
Soluzioni

  • Ciao Marcoxt92, il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

    Risposta di Ifrit

  • Consideriamo l'omogenea associata:

    y''-2y'+y = 0

    L'equazione caratteristica sarà:

    t^2-2t+1 = 0 ⇒ (t-1)^2 = 0

    Le cui soluzioni sono:

    t_1 = 1 = t_2

    Il discriminante della equazione associata è Δ = 0, pertanto la famiglia di soluzioni della equazione associata è :

    y_0(x) = (A+Bx) e^x

    Andiamo alla ricerca della soluzione particolare:

    Osserviamo che la funzione al secondo membro è del tipo

    f(x) = p(x) e^(α x)

    Nel nostro caso 

    p(x) = 6x

    α = 1

     

    Poiché α = 1 è soluzione della equazione caratteristica ed ha molteplicità 2 allora la soluzione particolare sarà del tipo:

    y_p(x) = x^2 q(x) e^(x)

    Dove q(x) è un polinomio generico di grado uguale a p(x)

    Quindi q(x) = H x+K con H e K costanti reali da determinare:

    y_p(x) = x^2 (Hx+K) e^x 

    Deriviamo due volte y_p(x)

    y_p'(x) = e^x x(2K+(3H+K)x+Hx^2)

    y_p''(x) = e^x (2K+(6H+4K)x+(6H+K)x^2+H x^3)

     

    sostituendo nella equazione differenziale e facendo una marea di conti otterrai che:

    2 e^x(3H x+K) = 6xe^x

    Semplificando il semplificabile:

    3Hx+K = 3x

    Da cui otteniamo per il principio di identità dei polinomi:

    H = 1, K = 0

    La soluzione particolare è quindi:

    y_p(x) = x^2·x e^x = x^3 e^x

     

    L'integrale generale è dato dalla somma tra la soluzione particolare e quella omogenea:

    y(x) = y_0(x)+y_p(x) = x^3 e^x+(A+Bx) e^x con A, B∈R

    Fine :)

    Risposta di Ifrit
 
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