Soluzioni
  • Ciao Marcoxt92, il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • Consideriamo l'omogenea associata:

    y''-2y'+y=0

    L'equazione caratteristica sarà:

    t^2-2t+1=0\implies (t-1)^2=0

    Le cui soluzioni sono:

    t_1=1= t_2

    Il discriminante della equazione associata è \Delta =0, pertanto la famiglia di soluzioni della equazione associata è :

    y_0(x)= (A+ Bx) e^x

    Andiamo alla ricerca della soluzione particolare:

    Osserviamo che la funzione al secondo membro è del tipo

    f(x)= p(x) e^{\alpha x}

    Nel nostro caso 

    p(x)= 6x

    \alpha=1

     

    Poiché \alpha=1 è soluzione della equazione caratteristica ed ha molteplicità 2 allora la soluzione particolare sarà del tipo:

    y_p(x)=x^2 q(x) e^{x}

    Dove q(x) è un polinomio generico di grado uguale a p(x)

    Quindi q(x)= H x+K con H e K costanti reali da determinare:

    y_p(x)= x^2 (Hx+K) e^x 

    Deriviamo due volte y_p(x)

    y_p'(x)= e^x x(2K +(3H+K)x+Hx^2 )

    y_p''(x)= e^x (2K+(6H+4K)x+(6H+K)x^2+H x^3)

     

    sostituendo nella equazione differenziale e facendo una marea di conti otterrai che:

    2 e^x(3H x+K)= 6xe^x

    Semplificando il semplificabile:

    3Hx+K=3x

    Da cui otteniamo per il principio di identità dei polinomi:

    H=1, K=0

    La soluzione particolare è quindi:

    y_p(x)= x^2\cdot x e^x= x^3 e^x

     

    L'integrale generale è dato dalla somma tra la soluzione particolare e quella omogenea:

    y(x)= y_0(x)+y_p(x)= x^3 e^x+(A+ Bx) e^x\quad\mbox{ con }A, B\in\mathbb{R}

    Fine :)

    Risposta di Ifrit
 
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