Soluzioni
  • Ciao White Arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • L'integrale è:

    \int\frac{1}{e^{2x}+e^x+2}dx

    Integriamo per sostituzione:

    t= e^x\implies x= \log(t)\implies dx= \frac{1}{t} dt

    Sostituiamo nell'integrale:

    \int\frac{1}{t(t^2+t+2)} dt

    A questo punto utilizziamo il metodo dei fratti semplici, osservando che t^2+t+2 è irriducibile.

    Per questioni teoriche:

    \frac{1}{t(t^2+t+2)}= \frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^2+t+2}

    con A, B, C\in \mathbb{R} da determinare con il principio di identità dei polinomi.

    \frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{t^2+t+2}= \frac{A(t^2+t+2)+Bt^2+Ct}{t(t^2+t+2)}

    da cui:

    \frac{(A+B)t^2+(A+C)t+2A}{t(t^2+t+2)}

    Grazie al principio di identità dei polinomi abbiamo:

    \begin{cases}A+B=0\\ A+C=0\\2A=2\end{cases}

    Da cui:

    A=1, B=-1, C=-1

    Quindi:

    \frac{1}{t(t^2+t+2)} dt= \frac{-1}{t}+\frac{-t-1}{t^2+t+2}

     

    Integriamo quest'ultima:

    \int -\frac{1}{t} dt+\int -\frac{t+1}{t^2+t+2}dt= -\log(t)-\int\frac{t+1}{t^2+t+2}dt

    Rimane da risolvere questo integrale:

    \int\frac{t+1}{t^2+t+2}dt

    Eseguirò ora alcuni trucchi algebrici di modo che al numeratore della funzione integranda mi ritrovi la derivata del denominatore:

    Moltiplichiamo e diviadiamo per 2:

    \frac{1}{2}\int \frac{2t+2}{t^2+t+2}= \frac{1}{2}\int \frac{2t+1+1}{t^2+t+2}

    \frac{1}{2}\int \frac{2t+1}{t^2+t+2}dt+\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+t+2}dt

    \frac{1}{2}\log|t^2+t+2|+\int \frac{1}{t^2+t+2}dt

    Quest'ultimo integrale è una arcotangente:

    \int \frac{1}{t^2+t+2}dt=\frac{2\sqrt{7}}{7}\arctan\left(\frac{1+2t}{\sqrt{7}}\right)+C

    Note: La risoluzione di quest'ultimo integrale è standard, devi seguire una procedura, che non scrivo adesso, nel caso avessi bisogno chiedi.

    Ricomponi il tutto e otterrai che l'integrale vale:

    \frac{\log|t|}{2}-\frac{1}{4}\log|2+t+t^2|-\frac{2\sqrt{7}}{2}\arctan\left(\frac{1+2t}{\sqrt{7}}\right)+c

    sostituendo a t l'esponenziale hai l'integrale risolto...

    Risposta di Ifrit
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