Integrale fratto con esponenziali per sostituzione

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Mi fate vedere come si svolge quest'integrale per sostituzione? E' l'integrale di una funzione fratta con termini esponenziali, grazie mille!

 

∫(1)/(e^(2x)+e^x+2)dx

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Ciao White Arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • L'integrale è:

    ∫(1)/(e^(2x)+e^x+2)dx

    Integriamo per sostituzione:

    t = e^x ⇒ x = log(t) ⇒ dx = (1)/(t) dt

    Sostituiamo nell'integrale:

    ∫(1)/(t(t^2+t+2)) dt

    A questo punto utilizziamo il metodo dei fratti semplici, osservando che t^2+t+2 è irriducibile.

    Per questioni teoriche:

    (1)/(t(t^2+t+2)) = (A)/(t)+(Bt+C)/(t^2+t+2)

    con A, B, C∈ R da determinare con il principio di identità dei polinomi.

    (A)/(t)+(Bt+C)/(t^2+t+2) = (A(t^2+t+2)+Bt^2+Ct)/(t(t^2+t+2))

    da cui:

    ((A+B)t^2+(A+C)t+2A)/(t(t^2+t+2))

    Grazie al principio di identità dei polinomi abbiamo:

    A+B = 0 ; A+C = 0 ; 2A = 2

    Da cui:

    A = 1, B = -1, C = -1

    Quindi:

    (1)/(t(t^2+t+2)) dt = (-1)/(t)+(-t-1)/(t^2+t+2)

     

    Integriamo quest'ultima:

    ∫-(1)/(t) dt+∫-(t+1)/(t^2+t+2)dt = -log(t)-∫(t+1)/(t^2+t+2)dt

    Rimane da risolvere questo integrale:

    ∫(t+1)/(t^2+t+2)dt

    Eseguirò ora alcuni trucchi algebrici di modo che al numeratore della funzione integranda mi ritrovi la derivata del denominatore:

    Moltiplichiamo e diviadiamo per 2:

    (1)/(2)∫ (2t+2)/(t^2+t+2) = (1)/(2)∫ (2t+1+1)/(t^2+t+2)

    (1)/(2)∫ (2t+1)/(t^2+t+2)dt+(1)/(2)∫ (1)/(t^2+t+2)dt

    (1)/(2)log|t^2+t+2|+∫ (1)/(t^2+t+2)dt

    Quest'ultimo integrale è una arcotangente:

    ∫ (1)/(t^2+t+2)dt = (2√(7))/(7)arctan((1+2t)/(√(7)))+C

    Note: La risoluzione di quest'ultimo integrale è standard, devi seguire una procedura, che non scrivo adesso, nel caso avessi bisogno chiedi.

    Ricomponi il tutto e otterrai che l'integrale vale:

    (log|t|)/(2)-(1)/(4)log|2+t+t^2|-(2√(7))/(2)arctan((1+2t)/(√(7)))+c

    sostituendo a t l'esponenziale hai l'integrale risolto...

    Risposta di Ifrit
 
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