Soluzioni
  • I passaggi per studiare la funzione li trovi spiegati in sintesi nella guida del link. Ora vediamo come studiare la funzione

    f(x)=|\ln(|\arctan(x+1)|)|+1

    non facendoci intimorire né dalla presenza dei due valori assoluti. Il primo passo consiste nel determinare il dominio della funzione per il quale dobbiamo richiedere che l'argomento del logaritmo sia positivo, ossia

    |\arctan(x+1)|>0

    Dato che il primo membro è sempre maggiore o uguale a zero, dobbiamo solamente scludere il caso in cui l'arcotangente sia uguale a zero. Imponiamo quindi che

    \arctan(x+1)\ne 0

    ossia

    x+1\ne 0\to x\ne -1

    Il dominio della funzione è pertanto

    \mbox{dom}(f)=(-\infty, -1)\cup (-1, +\infty)

    Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, pertanto f(x) non è una funzione né pari né dispari.

    Intersezioni con gli assi: determiniamo i punti di intersezione con l'asse delle ascisse impostando l'equazione con valore assoluto

    f(x)=0\to |\ln(|\arctan(x+1)|)|+1=0

    che però non ha soluzioni perché al primo membro abbiamo una somma tra 1 e una quantità non negativa, pertanto f(x) non interseca l'asse delle ascisse.

    Per determinare il punto di intersezione con l'asse delle ordinate è sufficiente valutare f(x) per x=0, ossia

    f(0)=\left|\ln\left(\arctan(1)\right)\right|+1=\left|\ln\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|+1

    la funzione dunque interseca l'asse delle ordinate nel punto \left(0, \left|\ln\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|+1\right).

    Segno della funzione: non è necessario impostare alcuna disequazione giacché f(x) è una funzione positiva perché somma tra un valore assoluto ed una quantità positiva.

    Limiti agli estremi del dominio: calcoliamo i seguenti limiti

    \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left|\ln(|\arctan(x+1)|)\right|+1=\\ \\ \\ =\left|\ln\left(\left|-\frac{\pi}{2}\right|\right)\right|+1=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)+1

    Giustifichiamo questo  risultato asserendo che quando l'argomento tende a -\infty l'arcotangente tende a -\frac{\pi}{2}.

    Attenzione, poiché il limite è finito allora la funzione ammette asintoto orizzontale sinistro di equazione

    y=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)+1

    Consideriamo ora il limite per x\to +\infty

    \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left|\ln\left(|\arctan(x+1)|\right)\right|+1=\\ \\ \\ = \left|\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)\right|+1=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)+1

    Poiché il limite è finito possiamo concludere che y=\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)+1 è l'equazione dell'asintoto orizzontale destro.

    La presenza degli asintoti orizzontali destro e sinistro assicurano che f(x) non possiede asintoti obliqui.

    Calcoliamo ora i limiti destro e sinistro per x\to -1 tenendo conto anche del segno di f(x) se necessario

    \lim_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}\left|\ln\left(\left|\arctan(x+1)\right|\right)\right|+1=

    Nell'intorno destro di -1 l'arcotangente è positiva pertanto non è necessaria la presenza del valore assoluto

    =\lim_{x\to -1^{+}}\left|\ln\left(\arctan(x+1)\right)\right|+1= [|\ln(0^{+})|+1]=+\infty

    Consideriamo il limite per x\to -1^{-}, osservando che questa volta ci troviamo in un intorno sinistro di -1 nel quale l'arcotangente è negativa, conseguentemente si ha

    \lim_{x\to -1^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}\left|\ln\left(-\arctan(x+1)\right)\right|+1= [|\ln(0^{+})|+1]=+\infty

    Il limite destro e il limite sinistro sono infiniti dunque x=-1 è l'equazione dell'unico asintoto verticale di f(x).

    Derivata prima: calcoliamo l'espressione di f'(x) applicando le dovute regole di derivazione alla funzione f(x), in particolare interverrà il teorema sulla derivata della funzione composta

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}[|\ln(|\arctan(x+1)|)|+1]=

    Naturalmente è necessario ricordare la derivata del valore assoluto, mediante la quale otteniamo

    =\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{d}{dx}[\ln(|\arctan(x+1)|)]=

    Calcoliamo la derivata rimasta applicando nuovamente con la regola di derivazione per le funzioni composte 

    \\ =\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{1}{|\arctan(x+1)|}\cdot\frac{d}{dx}[|\arctan(x+1)|]=\\ \\ \\  =\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{1}{|\arctan(x+1)|}\cdot\frac{|\arctan(x+1)|}{\arctan(x+1)}\cdot\frac{d}{dx}[\arctan(x+1)]= \\ \\ =\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{1}{\arctan(x+1)}\cdot\frac{1}{1+(x+1)^2}

    In definitiva la derivata prima risulta

    f'(x)=\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{1}{\arctan(x+1)}\cdot\frac{1}{1+(x+1)^2}

    Note: potremmo pensare di semplificare ulteriormente l'espressione della derivata prima, ma per quello che andremo a fare, ossia lo studio del suo segno, va più che bene nella forma in cui si trova.

    Oltre a ciò dobbiamo tenere in considerazione i valori che annullano gli argomenti dei valori assoluti che si candidano come punti di non derivabilità.

    Sappiamo già che x=-1 annulla l'argomento del valore assoluto più interno, ma esso non può essere considerato un punto di non derivabilità giacché non è un punto del dominio.

    D'altro canto è presente anche un ulteriore valore assoluto che abbraccia quasi l'intera funzione di partenza. Il suo argomento è

    \ln(|\arctan(x+1)|)

    ed è nullo se e solo se

    \ln(|\arctan(x+1)|)=0\to |\arctan(x+1)|=1

    L'equazione con valore assoluto si risolve agevolmente se si osserva che è equivalente alla coppia di equazioni

    \arctan(x+1)=-1\vee \arctan(x+1)=1

    e applicando membro a membro la funzione tangente otteniamo

    x+1=-\tan(1)\vee x+1=\tan(1)

    da cui

    x=-1-\tan(1)\vee x=-1+\tan(1)

    Essi si candidano come punti di non derivabilità per f(x) e possiamo classificarli mediante la definizione di derivata, analizzando cioè il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale centrato in uno dei candidati punti.

    Cominciamo con il valore x=-1-\tan(1): costruiamo rapporto incrementale

    \frac{f(-1-\tan(1)+h)-f(-1-\tan(1))}{h}=\frac{|\ln(|\arctan(h-\tan(1))|)|}{h}

    e consideriamo il limite destro per h\to 0^{+}, ossia

    \\ \lim_{h\to  0^{+}}\frac{f(-1-\tan(1)+h)-f(-1-\tan(1))}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|\ln(|\arctan(h-\tan(1))|)|}{h}=(\bullet)

    Quando h\to 0^{+} l'argomento del logaritmo tende a 1, possiamo pertanto utilizzare la stima asintotica del logaritmo

    \ln(|\arctan(h-\tan(1))|)\sim_{h\to 0^{+}}|\arctan(h-\tan(1))|-1

    grazie alla quale possiamo riscrivere il limite come

    \\ (\bullet)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|\arctan(h-\tan(1))|-1}{h}=

    Osserviamo che quando h\to 0^{+} si ha che \arctan(h-\tan(1))<0 e grazie alla definizione di modulo possiamo scrivere

    = \lim_{h\to 0^{+}}\frac{-\arctan(h-\tan(1))-1}{h}=

    Applichiamo il teorema di De l'Hopital per risolvere la forma di indecisione:

    =\lim_{h\to 0^{+}}\left[-\frac{1}{1+(h-\tan(1))^2}\right]=-\frac{1}{1+\tan^2(1)}

    Procedendo allo stesso modo per il limite sinistro otteniamo che

    \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(-1-\tan(1)+h)-f(-1-\tan(1))}{h}=\frac{1}{1+\tan^2(1)}

    e dunque possiamo concludere che x=-1-\tan(1) è un punto di non derivabità ed in particolare è un punto angoloso.

    Con ragionamenti simili si dimostra che anche x=1-\tan(1) è un punto angoloso.

    Studio del segno della derivata prima: è giunto il momento di studiare la monotonia di f(x), o più precisamente andremo a determinare gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente e quelli in cui è decrescente.

    L'analisi avviene tramite lo studio del segno della derivata prima attraverso il quale possiamo inoltre determinare gli eventuali punti di massimo o di minimo relativi

    f'(x)\ge 0\to\frac{|\ln(|\arctan(x+1)|)|}{\ln(|\arctan(x+1)|)}\cdot\frac{1}{\arctan(x+1)}\cdot\frac{1}{1+(x+1)^2}\ge 0

    Non facciamoci spaventare dalla disequazione, in realtà possiamo trascurare i fattori positivi perché in quanto tali non modificheranno l'insieme soluzione che dipende esclusivamente dai fattori

    \ln(|\arctan(x+1)|)\ \ \ ;\ \ \  \arctan(x+1)

    Risolviamo dunque le disequazioni

    \\ \ln(|\arctan(x+1)|)>0\to |\arctan(x+1)|>1\to \\ \\ \to x<-1-\tan(1)\vee x >-1+\tan(1) \\ \\ \arctan(x+1)>0\to x+1>0\to x>-1

    e creando l'opportuna tabella dei segni, possiamo concludere che la derivata prima

    - è positiva negli intervalli

    (-1-\tan(1), -1) \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ (-1+\tan(1), +\infty)

    - è negativa negli intervalli

    (-\infty, -1-\tan(1)) \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ (-1, -1+\tan(1))

    conseguentemente f(x) è strettamente crescente negli intervalli in cui f'(x) è positiva, strettamente decrescente negli intervalli in cui f'(x) è negativa.

    Importante: la derivata prima non si annulla per alcun valore del dominio di f(x) conseguentemente non sono presenti punti stazionari, ciò non vuol dire che non ci siano punti di massimo o di minimo, anzi dall'andamento di f(x) si comprende che

    x=-1-\tan(1)\ \ \ \mbox{ e }\ \ \ x=-1+\tan(1)

    sono punti di minimo assoluto oltre ad essere punti di non derivabilità. Il minimo associato è

    f(-1-\tan(1))=f(-1+\tan(1))=1

    Bypassiamo lo studio della derivata seconda, anche perché la mole di calcoli non giustifica le informazioni che possiamo trarre.

    Lo studio di funzione è completo: se vuoi disegnare il grafico della funzione - click!

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi