Capire se una terna è soluzione di un sistema lineare

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Ragazzi ho un sistema lineare e devo stabilire se una terna è una sua soluzione. La domanda è: per a=1/2, la terna (1,3,-1) è una delle infinite soluzione del seguente sistema lineare? Vero o falso?

 

ax+0+(1-a)z = 2a-1 ;-x+2ay+z = 1 ; 0+(1-a)y+z = a

Domanda di mery

 
Soluzioni

  • Ciao Mery arrivo :)

    Risposta di Ifrit

  • Il trucco è quello di sostituire 1/2 ad a, otterremo:

    (1)/(2)x+(1)/(2)z = 0 ;-x+y+z = 1 ; (1)/(2)y+z = (1)/(2)

     

    A questo punto sostituisci ad x 1, ad y 3, a z -1. Se le equazioni sono soddisfatte hai mostrato che il vettore è soluzione :)

     

    Scusami ma devo andare, se hai problemi, ti risponderò più tardi ;) 

    Risposta di Ifrit

  • grazie sia per avermi risposto sia per avermi svelato il trucchetto,

    ma un dubbio. Applicando il teorema di rouche capelli , io trovo che  per a=1/2 il rango di A è 3, mentre il rango di B è 2, perciò data che rango di A è diverso da rango di B il sistema è impossibile.

    Potresti spiegarmi se è così?.......

    con rango di A intendo la matrice incompleta

    con rango di B intendo la matrice completa

     

    Risposta di mery

  • Allora per a=1/2 la matrice dei coefficienti è:

    [(1)/(2) 0 (1)/(2) ;-1 1 1 ; 0 (1)/(2) 1]

     

    consideriamo la sottomatrice:

    M = [(1)/(2) 0 ;-1 1]

    ottenuta considerando l'intersezione tra la prima e la seconda riga con la prima e la seconda colonna

     ha determinante diverso da zero, quindi, il rango della matrice A è almeno 2, orliamola, ottenendo la matrice A:

    det(A) = 0

    per il teorema di Kronecker la matrice A ha rango 2. 

    Anche la matrice completa ha rango due, quindi il sistema è compatibile e ammette ∞^(1) soluzioni. 

    Risposta di Ifrit
 
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