Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    \int\frac{3e^{x}}{1+e^{2x}}dx=

    si risolve effettivamente integrando per sostituzione: lo si evince dalla presenza della funzione esponenziale che svolge un ruolo di protagonista all'interno dell'integrale.

    Prima di effettuare qualsiasi sostituzione però, trasportiamo fuori dal simbolo di integrazione la costante moltiplicativa ;3. La liceità di questo passaggio è assicurata dalle proprietà degli integrali (omogeneità)

    =3\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx=

    Mediante le proprietà delle potenze possiamo mostrare la validità dell'uguaglianza e^{2x}=(e^{x})^2, grazie alla quale otteniamo

    =3\int\frac{e^x}{1+(e^{x})^2}dx=

    Ora possiamo utilizzare il metodo di integrazione per sostituzione, più precisamente effettuiamo una sostituzione esponenziale, ponendo t=e^{x}.

    Dall'imposizione fatta, segue che il nuovo differenziale è dt=e^{x}dx, conseguentemente l'integrale diventa

    =3\int\frac{1}{1+t^2}dt=

    Ci siamo ricondotti ad un integrale fondamentale che a meno di costanti additive risulta essere un'arcotangente, pertanto

    =3\arctan(t)+c=

    dove c è una costante reale additiva. Non ci rimane che ripristinare la variabile x, tenendo a mente l'imposizione fatta t=e^{x}

    =3\arctan(e^{x})+c

    e mettere un punto all'esercizio.

    Risposta di Ifrit
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