Soluzioni
  • L'integrale indefinito

    \int\frac{3e^{x}}{1+e^{2x}}dx=

    si risolve effettivamente integrando per sostituzione: lo si evince dalla presenza della funzione esponenziale che svolge un ruolo di protagonista all'interno dell'integrale.

    Prima di effettuare qualsiasi sostituzione però, trasportiamo fuori dal simbolo di integrazione la costante moltiplicativa 3. La liceità di questo passaggio è assicurata dalle proprietà degli integrali (omogeneità)

    =3\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx=

    Mediante le proprietà delle potenze possiamo mostrare la validità dell'uguaglianza e^{2x}=(e^{x})^2, grazie alla quale otteniamo

    =3\int\frac{e^x}{1+(e^{x})^2}dx=

    Ora possiamo utilizzare il metodo di integrazione per sostituzione, più precisamente effettuiamo una sostituzione esponenziale, ponendo t=e^{x}.

    Dall'imposizione fatta, segue che il nuovo differenziale è dt=e^{x}dx, conseguentemente l'integrale diventa

    =3\int\frac{1}{1+t^2}dt=

    Ci siamo ricondotti ad un integrale fondamentale che a meno di costanti additive risulta essere un'arcotangente, pertanto

    =3\arctan(t)+c=

    dove c è una costante reale additiva. Non ci rimane che ripristinare la variabile x, tenendo a mente l'imposizione fatta t=e^{x}

    =3\arctan(e^{x})+c

    e mettere un punto all'esercizio.

    Risposta di Ifrit
 
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