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  • Ciao Brizio92, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
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    Risposta di Omega
  • La serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left[\log{\left(\frac{2n+4}{2n-1}\right)}\right]^n}

    la studierei con il confronto asintotico: possiamo infatti riscrivere il termine generale nella forma

    \left[\log{\left(\frac{2n+4}{2n-1}\right)}\right]^n=\left[\log{\left(\frac{2n-1}{2n-1}+\frac{5}{2n+1}\right)}\right]^n

    avendo sommato e sottratto un 1  a numeratore nell'argomento del logaritmo. Quindi

    =\left[\log{\left(1+\frac{5}{2n+1}\right)}\right]^n

    per n\to +\infty si può applicare il limite notevole del logaritmo

    \left[\log{\left(1+\frac{5}{2n+1}\right)}\right]^n\sim \left[\frac{5}{2n+1}}\right]^n

    e abbiamo scoperto che la nostra serie è asintoticamente equivalente a

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left[\log{\left(1+\frac{5}{2n+1}\right)}\right]^n\sim \left[\frac{5}{2n+1}}\right]^n}

    questa serie la studiamo con il criterio della radice, e chiamando il suo termine generale b_n abbiamo che

    \sqrt[n]{b_n}\to 0

    quindi converge.

    Avremmo potuto applicare direttamente il criterio della radice alla serie iniziale: detto a_n il suo termine generale, si vede facilmente che

    \sqrt[n]{a_n}\to \log{(1)}=0

    Va bene ugualmente Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie, l'unica differenza che mi trovo da come lo svolgo io, è che a me viene che la serie tende a log(3/2) e non di uno :| Forse sbaglio a risolvere il limite dell'argomento?

    Risposta di Brizio92
  • Dipende da qual'è il limite che hai considerato: parliamo della radice n-esima dell'argomento?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • l'argomento del logaritmo intendo a 1/3, quindi la radice ennesima mi viene che 'va' a ln(1/3), cosa per cui sono arrivato comunque a considerarla convergente

    Risposta di Brizio92
  • Per n\to +\infty l'argomento del logaritmo tende a 1, basta confrontare gli ordini di infinito tra numeratore e denominatore, non trovi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
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