Discutere un sistema lineare con due parametri

Un sistema lineare parametrico si discute sempre allo stesso modo, quale che sia il numero dei parametri. La prima cosa da fare è scrivere le matrici e associate al sistema.

Il passo successivo è calcolarne i ranghi e fare intervenire il teorema di Rouché Capelli, secondo cui, detto il numero delle incognite:

- se , il sistema è incompatibile;

- se , il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione;

- se , il sistema è indeterminato e ammette soluzioni.

Ciò premesso riportiamo il sistema assegnato

e componiamo le matrici associate

è una matrice quadrata di ordine 2 e, per il criterio dei minori, ha rango è 2 se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Il determinante di si annulla per , dunque per il rango di è 2.

Osserviamo ora che è una sottomatrice 2x2 di , dunque se anche il rango di è 2 e, per Rouché Capelli, il sistema ha un'unica soluzione.

Vediamo cosa succede se .

Le matrici associate al sistema diventano:

Evidentemente, il rango di è uguale a 1.

Calcoliamo il rango della matrice completa con il criterio dei minori. I minori di ordine 2 di sono:

Tutti e tre si annullano per , dunque per questo valore di il rango di è 1, mentre per il rango di è 2.

Ne segue allora che:

per e il sistema è compatibile e ammette soluzioni, mentre per e il sistema è impossibile.

Sarebbe tutto, ma chiudiamo con un riepilogo:

- se , il sistema ha una sola soluzione, quale che sia il valore di ;

- se e , il sistema ammette soluzioni;

- se e , il sistema è incompatibile.