Equazione della sfera con centro e punto di passaggio

Avrei bisogno di una mano per scrivere l'equazione di una sfera di cui conosco sia il centro che un punto per cui passa. Qual è la formula da usare?

Sia R^3 lo spazio munito del sistema di riferimento cartesiano Oxyz. Scrivere l'equazione della sfera di centro C(0,1,2) e passante per l'origine degli assi.

Grazie.

Domanda di Giulialg88
Soluzione

In generale la sfera, o per meglio dire la superficie sferica, è definita come il luogo geometrico dei punti dello spazio che hanno la medesima distanza da un punto fissato, detto centro della sfera.

Per poter scrivere l'equazione della superficie sferica abbiamo bisogno di due informazioni:

- le coordinate del centro C(x_(C),y_(C),z_(C));

- la misura del raggio r della sfera, ossia la distanza tra C e P dove P è un qualsiasi punto della superficie: chiaramente dovremo avvalerci della formula per la distanza tra due punti nello spazio.

Disponendo di queste informazioni, l'equazione della sfera di centro C e raggio r è:

S: (x−x_(C))^2+(y−y_(C))^2+(z−z_(C))^2 = r^2

Il testo del problema fornisce sia le coordinate del centro

C(x_(C),y_(C),z_(C)) = (0,1,2)

sia il punto per cui S passa: P(x_(P),y_(P),z_(P)) = (0,0,0). L'unico elemento mancante è proprio la misura del raggio che possiamo ottenere calcolando la distanza tra il centro e il punto P

r = d(C,P) = √((x_(P)−x_(C))^2+(y_(P)−y_(C))^2+(z_(P)−z_(C))^2) = √((0−0)^2+(0−1)^2+(0−2)^2) = √(5)

Sostituiamo a questo punto i valori nella formula

S: (x−x_(C))^2+(y−y_(C))^2+(z−z_(C))^2 = r^2

e scriviamo l'equazione della sfera di centro C e raggio r = √(5)

(x−0)^2+(y−1)^2+(z−2)^2 = (√(5))^2 ; x^2+(y−1)^2+(z−2)^2 = 5

Possiamo infine sviluppare i quadrati di binomio e svolgere i calcoli per ottenere l'equazione canonica della sfera

S: x^2+y^2+z^2−2y−4z = 0

Problema risolto!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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