Soluzioni
  • Per calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

    \frac{3x+3}{3x-6}+\frac{x-1}{x+2}=\frac{4(x^2+2)}{2x^2-8}

    dobbiamo prima di tutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli.

    \\ 3x-6\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 3x\ne 6 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2\\ \\ x+2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2

    La condizione

    2x^2-8\ne 0

    richiede qualche passaggio algebrico in più. Per prima cosa, raccogliamo il fattore comune 2

    2(x^2-4)\ne 0

    dopodiché scomponiamo la differenza di quadrati

    2(x-2)(x+2)\ne 0

    Per analizzare la relazione sfruttiamo a dovere la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se sono non nulli i fattori che lo compongono.

    x-2\ne 0 \ \wedge \ x+2\ne 0

    da cui

    x\ne 2 \ \wedge \ x\ne -2

    Possiamo scrivere in definitiva che l'insieme di esistenza è dato da

    C.E. : \ x\ne -2\ \wedge \ x\ne 2

    Ora che disponiamo delle condizioni di esistenza, possiamo effettuare i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale.

    Raccogliamo totalmente i fattori comuni

    \frac{3(x+1)}{3(x-2)}+\frac{x-1}{x+2}=\frac{4(x^2+2)}{2(x^2-4)}

    scomponiamo a dovere la differenza di quadrati

    \frac{3(x+1)}{3(x-2)}+\frac{x-1}{x+2}=\frac{4(x^2+2)}{2(x-2)(x+2)}

    e portiamo la frazione a secondo membro a sinistra dell'uguale

    \frac{3(x+1)}{3(x-2)}+\frac{x-1}{x+2}-\frac{4(x^2+2)}{2(x-2)(x+2)}=0

    Semplifichiamo a dovere le costanti moltiplicative, ottenendo:

    \frac{x+1}{x-2}+\frac{x-1}{x+2}-\frac{2(x^2+2)}{(x-2)(x+2)}=0

    Il nostro obiettivo consiste nell'esprimere il primo membro sotto forma di un'unica frazione algebrica e, per raggiungerlo, abbiamo bisogno del minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{(x+1)(x+2)+(x-1)(x-2)-2(x^2+2)}{(x-2)(x+2)}=0

    Interviene adesso il secondo principio di equivalenza delle equazioni, il quale consente di eliminare il denominatore comune e di scrivere, sotto i vincoli dettati dal C.E., l'equazione equivalente

    (x+1)(x+2)+(x-1)(x-2)-2(x^2+2)=0

    Eseguiamo le varie moltiplicazioni, facendo particolare attenzione alla regola dei segni

    x^2+2x+x+2+x^2-2x-x+2-2x^2-4=0

    e, una volta sommati tra loro i monomi simili, ci riconduciamo a un'equazione senza incognite

    0=0

    soddisfatta per ogni x\ne \pm2 dove i due valori devono essere esclusi per via delle condizioni di esistenza.

    In definitiva, l'equazione è indeterminata e il suo insieme soluzione è:

    S: \ \forall x\ne -2 \ \wedge \ x\ne 2

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra