Un limite particolare - potenze di x concatenate (x alla x alla x...)

Question

Ciao, ho un bel giochetto per voi: come faccio a calcolare il limite di potenze concatenate di x al tendere di x a zero? Il limite è questo: lim x- > 0 x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(...x^(...)...)))))))) che può essere visto come y = x^(y) e visto che ci siete fate un bello studio di funzione..

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Iannao, il limite lo risolvi iterativamente usando la definizione di logaritmo x=e^ln(x), che ad esempio
ti dice che

x^x=e^{ln(x^x)}=e^xln(x)

dove l'ultimo uguale si basa su una ben nota proprietà dei logaritmi. Quando x tende a zero, xln(x) tende a zero e il limite vale dunque 1. Perchè tende a zero? Basta scriverlo come

xln(x)=ln(x)/[1/x] dove 1/x è un infinito di ordine superiore a ln(x).

A questo punto dipende dalla funzione che hai, da quante volte x è elevato a sè stesso, da quale è l'ultimo esponente, o meglio la prima funzione in ordine di composizione. Per lo studio di funzione dovresti essere più specifico...Quale vorresti?

Namastè - Agente Ω