Soluzioni
  • Per integrare un'arcotangente, bisogna procedere con la formula di integrazione per parti:

    \int{\arctan{(x)}dx}

    Per applicare la formula

    \int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx

    Consideriamo come derivata un coefficiente f'(x)=1 e come primitiva la funzione g(x)=\arctan(x)

    In questo modo è sufficiente tenere a mente il corrispondente integrale notevole e la corrispondente derivata fondamentale

    \\ f'(x)=1\ \to\ f(x)=x\\ \\ g(x)=\arctan(x)\ \to\ g'(x)=\frac{1}{1+x^2}

    Mi raccomando: la derivata dell'arcotangente ricorre spessissimo negli esercizi ed è buona cosa ricordarsela!

    Procediamo integrando per parti:

    \int{1\cdot \arctan{(x)}dx}=x\arctan{(x)}-\int x\cdot \frac{1}{1+x^2}dx

    A questo punto possiamo interessarci solamente dell'integrale che resta:

    \int\frac{x}{1+x^2}dx

    Qui dobbiamo osservare che il numeratore assomiglia molto alla derivata del denominatore. L'obiettivo consiste nell'applicare la formula di integrazione

    \int\frac{1}{h(x)}\cdot h'(x)dx=\log|h(x)|+c

    Dobbiamo solo aggiustare i coefficienti. Un piccolo trucco: moltiplichiamo e dividiamo per 2

    \int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\log(|1+x^2|)+c

    A ben vedere possiamo omettere il valore assoluto perché 1+x^2 è un termine positivo, essendo la somma di un valore positivo con un quadrato (che è non negativo).

    In definitiva l'integrale dell'arcotangente è dato da

    \int\arctan(x)dx=x\arctan(x)-\frac{1}{2}\log(1+x^2)+c

    dove c è una costante arbitraria che individua tutte le primitive dell'integranda.

    Con questo è tutto: ti lascio il link per il tool di calcolo degli integrali online, sono certo che ti tornerà utile. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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