Integrale dell'arcotangente

Fulvio Sbranchella (Omega) -

Come si calcola l'integrale dell'arcotangente di x e in generale qual è il procedimento per l'integrazione dell'arcotangente? Mi servirebbero tutti i passaggi che devo fare. Grazie in anticipo!

Soluzione

Per integrare un'arcotangente, bisogna procedere con la formula di integrazione per parti:

∫arctan(x)dx

Per applicare la formula

∫ f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-∫ f(x)g'(x)dx

Consideriamo come derivata un coefficiente f'(x) = 1 e come primitiva la funzione g(x) = arctan(x)

In questo modo è sufficiente tenere a mente il corrispondente integrale notevole e la corrispondente derivata fondamentale

f'(x) = 1 → f(x) = x ; g(x) = arctan(x) → g'(x) = (1)/(1+x^2)

Mi raccomando: la derivata dell'arcotangente ricorre spessissimo negli esercizi ed è buona cosa ricordarsela!

Procediamo integrando per parti:

∫1·arctan(x)dx = xarctan(x)-∫ x·(1)/(1+x^2)dx

A questo punto possiamo interessarci solamente dell'integrale che resta:

∫(x)/(1+x^2)dx

Qui dobbiamo osservare che il numeratore assomiglia molto alla derivata del denominatore. L'obiettivo consiste nell'applicare la formula di integrazione

∫(1)/(h(x))·h'(x)dx = log|h(x)|+c

Dobbiamo solo aggiustare i coefficienti. Un piccolo trucco: moltiplichiamo e dividiamo per 2

∫(x)/(1+x^2)dx = (1)/(2)∫(2x)/(1+x^2)dx = (1)/(2)log(|1+x^2|)+c

A ben vedere possiamo omettere il valore assoluto perché 1+x^2 è un termine positivo, essendo la somma di un valore positivo con un quadrato (che è non negativo).

In definitiva l'integrale dell'arcotangente è dato da

∫arctan(x)dx = xarctan(x)-(1)/(2)log(1+x^2)+c

dove c è una costante arbitraria che individua tutte le primitive dell'integranda.

Con questo è tutto: ti lascio il link per il tool di calcolo degli integrali online, sono certo che ti tornerà utile. ;)

Namasté!

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