Esercizio con i complessi

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Ciao ragazzi mi aiutate con questa equazione : (2*(z)^(3))/(2-i) = (|z|)/(2i+1)

Grazie mille :)

Domanda di Bartez

 
Soluzioni

  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere l'equazione complessa

    \frac{2z^3}{2-i}=\frac{|z|}{2i+1}

    Moltiplichiamo a sinistra e a destra per (2-i)

    2z^3=\frac{|z|}{2i+1}(2-i)

    quindi esprimiamo in forma algebrica la frazione

    \frac{2-i}{2i+1}=\frac{2-i}{2i+1}\frac{2i-1}{2i-1}=-i

    L'equazione si riduce quindi a

    2z^3=-i|z|

    A questo punto si può sostituire il numero complesso in forma esponenziale

    2r^3e^{3i\theta}=-ir

    da cui una soluzione la deduciamo al volo: r=0 e quindi z=0. Poi

    e^{3i\theta}=-\frac{1}{2r^2}i

    Ma il numero complesso di sinistra deve avere parte reale nulla, quindi

    \cos{(3\theta)}=0

    da cui

    3\theta=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}

    Scegliamo solamente l'argomento che rende il seno negativo, quindi \theta=\frac{3\pi}{2} e dunque

    \theta=\frac{\pi}{2}

    Il numero complesso a sinistra dell'uguale ha modulo uguale a 1, quindi

    \frac{1}{2r^2}=1

    ossia

    r=\frac{1}{\sqrt{2}}

    Combinando queste possibilità, trovi le soluzioni dell'equazione.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Non ho capito alcuni passaggi : Ad esempio quando razionalizzi non dovrebbe essere (2-i)/(2i+1) e quindi è uguale a -i ? Poi 2(z)^(3) non dovrebbe essere uguale a 2(R)^(3)*e^(3iteta)

    Poi non ho capito perchè hai trasformato |z| (modulo di z) in R*e^(-iteta) , quest'ultima espressione non è uguale al coniugato di z ?

    Grazie per la disponibilità

    Risposta di Bartez

  • Errori di trascrizione dell'esercizio svolto a mano! Yell Correggo la risposta precedente...

    Risposta di Omega
 
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