Esercizio con i complessi

Ciao ragazzi mi aiutate con questa equazione : (2*(z)^(3))/(2-i) = (|z|)/(2i+1)

Grazie mille :)

In Uni - Analisi - Domanda di Bartez

Soluzioni

Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Per risolvere l'equazione complessa

$\frac{2z^3}{2-i}=\frac{|z|}{2i+1}$

Moltiplichiamo a sinistra e a destra per

$2z^3=\frac{|z|}{2i+1}(2-i)$

quindi esprimiamo in forma algebrica la frazione

$\frac{2-i}{2i+1}=\frac{2-i}{2i+1}\frac{2i-1}{2i-1}=-i$

L'equazione si riduce quindi a

A questo punto si può sostituire il numero complesso in forma esponenziale

$2r^3e^{3i\theta}=-ir$

da cui una soluzione la deduciamo al volo: e quindi . Poi

$e^{3i\theta}=-\frac{1}{2r^2}i$

Ma il numero complesso di sinistra deve avere parte reale nulla, quindi

$\cos{(3\theta)}=0$

da cui

$3\theta=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$

Scegliamo solamente l'argomento che rende il seno negativo, quindi $\theta=\frac{3\pi}{2}$ e dunque

$\theta=\frac{\pi}{2}$

Il numero complesso a sinistra dell'uguale ha modulo uguale a , quindi

$\frac{1}{2r^2}=1$

ossia

$r=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Combinando queste possibilità, trovi le soluzioni dell'equazione.

Namasté!

Risposta di Omega
Non ho capito alcuni passaggi : Ad esempio quando razionalizzi non dovrebbe essere (2-i)/(2i+1) e quindi è uguale a -i ? Poi 2(z)^(3) non dovrebbe essere uguale a 2(R)^(3)*e^(3iteta)

Poi non ho capito perchè hai trasformato |z| (modulo di z) in R*e^(-iteta) , quest'ultima espressione non è uguale al coniugato di z ?

Grazie per la disponibilità

Risposta di Bartez
Errori di trascrizione dell'esercizio svolto a mano! Correggo la risposta precedente...

Risposta di Omega

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