Applicazione del limite notevole di e

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Salve a tutti. Sto avendo problemi ad applicare il limite notevole di e (quello che dà come risultato il numero di Nepero):

lim_(x →±∞) (1+(1)/(x))^(x) = e

Se ho un limite del tipo :

lim x->0+   (1+senx)1/x

come devo fare per far sì che l'esponente e il denominatore siano uguali? Faccio il reciproco di sen(x)? Poi moltplico e divido l'esponente per 1/senx, e come si continua? Poi come faccio a capire quanto sarà uguale l'esponente del numero di Nepero? E poi se avessi sen(x) in valore assoluto e e la x->0- dovrei considerare -sen(x)?

Grazie mille ;)

Domanda di povi

 
Soluzioni

  • Ciao povi arrivo! :D

    Risposta di Ifrit

  • lim_(x → 0)(1+sin(x))^((1)/(x)) =

    lim_(x → 0)(1+(1)/((1)/(sin(x))))^((1)/(x)) =

    Moltiplichiamo e dividiamo per 

    (1)/(sin(x)) all'esponente:

    lim_(x → 0)[(1+(1)/((1)/(sin(x))))^(1)/(sin(x))]^(((1)/(frac1sin(x)))/(x)) =

    lim_(x → 0)(1+(1)/((1)/(sin(x))))^(1)/(sin(x)) = e 

    infatti è il limite notevole dell'esponenziale.

     

    lim_(x → 0)((1)/(frac1sin(x)))/(x) = lim_(x → 0)(sin(x))/(x) = 1

    Anche questo è un limite notevole. Possiamo concludere che il limite di partenza vale e

    Ho seguito i tuoi passaggi, ci eri quasi ;)

    Risposta di Ifrit

  • E se il secondo esponente non era sinx/x  ma il limite di tale esponente risultava diverso da 1 come si faceva?

    Risposta di povi

  • Scusami non avevo visto la domanda. 

    Se non avessimo avuto uno all'esponente, avremmo avuto un altro numero o più o meno infinito. In questi casi il limite sarebbe valso:

    e^m dove m è il limite dell'esponente

    +∞ se il limite dell'esponente usciva + infinito

    0 se il limite dell'esponente fosse stato - infinito

    Mi raccomando, attento con i limiti notevoli :)

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille. Sealed

    Risposta di povi
 
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