Soluzioni
  • Consideriamo la funzione fratta

    f(x)=\frac{5x-1}{x+1}

    e proponiamoci come obiettivo quello di calcolarne il dominio. Affinché l'applicazione sia ben definita, dobbiamo richiedere che la non nullità del denominatore, vale a dire

    x+1\ne 0 \ \to \ x\ne -1

    Il dominio della funzione è pertanto

    Dom(f)=\mathbb{R}-\{-1\}

    Possiamo ora dedicarci al calcolo dell'immagine della funzione, ossia l'insieme formato da tutti i valori reali y per i quali l'equazione

    f(x)=y

    abbia almeno una soluzione x\in Dom(f). L'equazione da analizzare è dunque

    \frac{5x-1}{x+1}=y

    che risolviamo rispetto a x moltiplicando i due membri per x+1

    5x-1=y(x+1) \ \to \ 5x-1=yx+y

    Trasportiamo i termini con l'incognita al primo membro, tutti gli altri al secondo

    5x-yx=y+1

    Raccogliamo totalmente x

    x(5-y)=y+1

    e osserviamo che:

    - se 5-y=0 ossia y=5 l'equazione è impossibile, dunque y=5 non apparterrà all'immagine di f(x);

    - se 5-y\ne 0 \ \to \ y\ne 5 l'equazione ammette come soluzione

    x=\frac{y+1}{5-y}

    Possiamo affermare che l'immagine della funzione è pertanto

    Im(f)=\mathbb{R}-\{5\}

    Per mostrare che f(x) è una funzione invertibile, dobbiamo verificare che f(x) è sia una funzione iniettiva, che una funzione suriettiva.

    Per quanto concerne l'iniettività, fissiamo x_1\ \mbox{e} \ x_2 nel dominio e consideriamo l'equazione

    f(x_1)=f(x_2)

    e dimostriamo che è soddisfatta univocamente dall'uguaglianza x_1=x_2. Nel caso in questione f(x_1)=f(x_2) si traduce nella relazione

    \frac{5x_1-1}{x_1+1}=\frac{5x_2-1}{x_2+1}

    Moltiplichiamo i due membri per il prodotto dei denominatori ricavando così l'uguaglianza

    (5x_1-1)(x_2+1)=(5x_2-1)(x_1+1)

    Una volta sviluppati i prodotti e sommati i termini simili otteniamo

    6(x_1-x_2)=0 \ \to \ x_1=x_2

    In definitiva, la funzione realizza la definizione di iniettività.

    La suriettività della funzione è garantita dal fatto che il codominio della funzione coincide con l'immagine, vale a dire

    Cod(f)=Im(f)

    Possiamo affermare che f(x) è una funzione invertibile perché realizza le definizioni di iniettività e suriettività. Non ci resta che esplicitare l'espressione analitica della funzione inversa.

    Fortunatamente, abbiamo già fatto la parte delicata del lavoro: nel calcolo dell'immagine abbiamo ottenuto l'uguaglianza

    x=\frac{y+1}{5-y}

    dalla quale, scambiando i ruoli di x\ \mbox{e} \ y, ricaviamo l'espressione della funzione inversa:

    y=\frac{x+1}{5-x}

    Concludiamo che l'inversa di f(x) è

    f^{-1}(x)=\frac{x+1}{5-x}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
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