Soluzioni
  • Sappiamo che W e U sono due sottospazi vettoriali di \mathbb{R}^4 la cui dimensione è:

    \mbox{dim}(W)=3 \ \ \ ; \ \ \ \mbox{dim}(U)=2

    Dobbiamo stabilire se è possibile che il sottospazio intersezione W \cap U sia costituito dal solo vettore nullo.

    Indicato con W+U il sottospazio somma, dalla formula di Grassmann è noto che la dimensione del sottospazio somma è uguale alla somma delle dimensioni dei due sottospazi diminuita della dimensione del sottospazio intersezione, ossia

    \mbox{dim}(W+U)=\mbox{dim}(W)+\mbox{dim}(U)-\mbox{dim}(W\cap U)

    Sostituiamo \mbox{dim}(W)=3 e \mbox{dim}(U)=2

    \mbox{dim}(W+U)=3+2-\mbox{dim}(W\cap U)

    da cui

    \mbox{dim}(W+U)=5-\mbox{dim}(W\cap U)

    Ora, se W \cap U contenesse il solo vettore nullo, la sua dimensione sarebbe pari a zero, e quindi otterremmo che

    \mbox{dim}(W+U)=5

    ma ciò è impossibile in quanto W+U è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4, per cui la sua dimensione è minore o, al più, uguale a 4.

    In buona sostanza abbiamo dimostrato che il sottospazio intersezione non può essere formato dal solo vettore nullo, e con questo è tutto!

    Risposta di Galois
 
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