Equazione differenziale lineare del primo ordine

Ciao Maria Rosaria, l'equazione differenziale che ci proponi è lineare in quanto può essere scritta nella forma

y'(x)=a(x)y+b(x)

dove

a(x)=-2x

b(x)=(x+1)e^2x.

La cui soluzione generale è della forma

è quindi sufficiente calcolare

∫ a(x)dx= -x²+c₁

dove c₁ è una costante arbitraria;

∫ b(x)e^-∫a(x)dx dx = ∫ (x+1)e^2xe^{+x^2+c₁} dx = ∫ (x+1)e^{x^2+2x+c1} dx=

siamo molto fortunati con questo integrale, infatti basta ricordare il teorema di derivazione della funzione composta per risolverlo e quindi moltiplicare e dividere per 2 all'interno dell'integrale. In questo modo hai un 2(x+1) che è proprio la derivata dell'esponente!

=(1/2) e^{x^2+2x+c1} + costante

In definitiva, la soluzione è

y=[e^{-x^2+c₁}][(1/2)e^{x^2+2x+c1} +costante]

che si può scrivere in una forma un po' più bellina, ma penso che questo basti a soddisfare la tua richiesta.

Namasté - Agente Ω