Insiemi con parametro e numeri complessi

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Non capisco come risolvere un esercizio sugli insiemi in campo complesso con parametro reale. Da quello che ho capito, il testo fornisce due insiemi e devo determinare i valori del parametro k di modo che l'intersezione di tali insiemi sia non vuota.

 

Si considerino gli insiemi di numeri complessi

 

U=\{k^2-4k+i\} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ V=\{-3+i\}

 

al variare del parametro k\in\mathbb{R}. Determinare i valori di k per cui i due insiemi hanno intersezione non vuota.

Domanda di Rita

 
Soluzioni

  • Il testo richiede di calcolare i valori del parametro reale k tali che i due insiemi

    U=\{k^2-4k+i\} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ V=\{-3+i\}

    abbiano intersezione non vuota. Dal punto di vista puramente insiemistico dobbiamo determinare i numeri reali (se esistono) k di modo che il numero complesso z appartenga sia all'insieme U che all'insieme V.

    In accordo con la teoria degli insiemi, z\in U se e solo se esiste almeno un numero reale k tale per cui z si possa esprimere nella forma

    z=k^2-4k+i

    D'altro canto z\in V se e solo se z=-3+i, proprio perché V è formato da un singolo valore (è un singoletto complesso).

    Affinché z appartenga all'intersezione dei due insiemi, ossia z\in U\cap V, dobbiamo richiedere che le condizioni trovate in precedenza siano soddisfatte contemporaneamente, cioè deve sussistere il sistema

    \begin{cases}z=k^2-4k+i\\ z=-3+i\end{cases}

    da cui, procedendo per sostituzione, otteniamo l'equazione nell'incognita k

    k^2-4k+i=-3+i

    che espressa in forma normale diventa un'equazione di secondo grado completa nell'incognita reale k:

    k^2-4k+3=0

    Potremmo risolvere l'equazione sfruttando la formula del delta, ma in questa occasione procediamo in modo differente: il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare che si scompone come prodotto di fattori lineari. Ciò ci permette di esprimere l'equazione nella forma equivalente

    (k-3)(k-1)=0

    che risolviamo mediante la legge di annullamento del prodotto con cui otteniamo

    \\ k-3=0\to k=3 \\ \\ k-1=0\to k=1

    In definitiva gli insiemi U \ \mbox{e} \ V hanno intersezione non vuota se e solo se k=1\vee k=3 dove \vee è il simbolo matematico che indica la disgiunzione inclusiva.

    Risposta di Ifrit
 
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