Soluzioni
  • Il testo richiede di calcolare i valori del parametro reale k tali che i due insiemi

    U = k^2-4k+i e V = -3+i

    abbiano intersezione non vuota. Dal punto di vista puramente insiemistico dobbiamo determinare i numeri reali (se esistono) k di modo che il numero complesso z appartenga sia all'insieme U che all'insieme V.

    In accordo con la teoria degli insiemi, z∈ U se e solo se esiste almeno un numero reale k tale per cui z si possa esprimere nella forma

    z = k^2-4k+i

    D'altro canto z∈ V se e solo se z = -3+i, proprio perché V è formato da un singolo valore (è un singoletto complesso).

    Affinché z appartenga all'intersezione dei due insiemi, ossia z∈ U ∩ V, dobbiamo richiedere che le condizioni trovate in precedenza siano soddisfatte contemporaneamente, cioè deve sussistere il sistema

    z = k^2-4k+i ; z = -3+i

    da cui, procedendo per sostituzione, otteniamo l'equazione nell'incognita k

    k^2-4k+i = -3+i

    che espressa in forma normale diventa un'equazione di secondo grado completa nell'incognita reale k:

    k^2-4k+3 = 0

    Potremmo risolvere l'equazione sfruttando la formula del delta, ma in questa occasione procediamo in modo differente: il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare che si scompone come prodotto di fattori lineari. Ciò ci permette di esprimere l'equazione nella forma equivalente

    (k-3)(k-1) = 0

    che risolviamo mediante la legge di annullamento del prodotto con cui otteniamo

     k-3 = 0 → k = 3 ; k-1 = 0 → k = 1

    In definitiva gli insiemi U e V hanno intersezione non vuota se e solo se k = 1 ∨ k = 3 dove ∨ è il simbolo matematico che indica la disgiunzione inclusiva.

    Risposta di Ifrit
 
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