Insiemi con parametro e numeri complessi

Il testo richiede di calcolare i valori del parametro reale tali che i due insiemi

abbiano intersezione non vuota. Dal punto di vista puramente insiemistico dobbiamo determinare i numeri reali (se esistono) di modo che il numero complesso appartenga sia all'insieme che all'insieme .

In accordo con la teoria degli insiemi, se e solo se esiste almeno un numero reale tale per cui si possa esprimere nella forma

D'altro canto se e solo se , proprio perché è formato da un singolo valore (è un singoletto complesso).

Affinché appartenga all'intersezione dei due insiemi, ossia , dobbiamo richiedere che le condizioni trovate in precedenza siano soddisfatte contemporaneamente, cioè deve sussistere il sistema

da cui, procedendo per sostituzione, otteniamo l'equazione nell'incognita

che espressa in forma normale diventa un'equazione di secondo grado completa nell'incognita reale :

Potremmo risolvere l'equazione sfruttando la formula del delta, ma in questa occasione procediamo in modo differente: il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare che si scompone come prodotto di fattori lineari. Ciò ci permette di esprimere l'equazione nella forma equivalente

che risolviamo mediante la legge di annullamento del prodotto con cui otteniamo

In definitiva gli insiemi hanno intersezione non vuota se e solo se dove è il simbolo matematico che indica la disgiunzione inclusiva.