Il testo richiede di calcolare i valori del parametro reale
tali che i due insiemi
abbiano intersezione non vuota. Dal punto di vista puramente insiemistico dobbiamo determinare i numeri reali (se esistono)
di modo che il numero complesso
appartenga sia all'insieme
che all'insieme
.
In accordo con la teoria degli insiemi,
se e solo se esiste almeno un numero reale
tale per cui
si possa esprimere nella forma
D'altro canto
se e solo se
, proprio perché
è formato da un singolo valore (è un singoletto complesso).
Affinché
appartenga all'intersezione dei due insiemi, ossia
, dobbiamo richiedere che le condizioni trovate in precedenza siano soddisfatte contemporaneamente, cioè deve sussistere il sistema
da cui, procedendo per sostituzione, otteniamo l'equazione nell'incognita
che espressa in forma normale diventa un'equazione di secondo grado completa nell'incognita reale
:
Potremmo risolvere l'equazione sfruttando la formula del delta, ma in questa occasione procediamo in modo differente: il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare che si scompone come prodotto di fattori lineari. Ciò ci permette di esprimere l'equazione nella forma equivalente
che risolviamo mediante la legge di annullamento del prodotto con cui otteniamo
In definitiva gli insiemi
hanno intersezione non vuota se e solo se
dove
è il simbolo matematico che indica la disgiunzione inclusiva.
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