Integrale definito con radice quadrata

Question

Salve come si calcola il seguente integrale definito? E' un integrale di una radice quadrata, ed è in particolare: Integrale: ∫_2^8√(4+4t^2+(1)/(t^2)) dt

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

L'integrale è ∫_2^8√(4+4t^2+(1)/(t^2)) dt Consideriamo l'argomento della radice: 4+4t^2+(1)/(t^2) = (4t^2+4t^4+1)/(t^2) = ((2t^2+1)^2)/(t^2) La radice quindi se ne può andare con i quadrati. Nell'estrarre le radici quadrate possiamo evitare di riportare i moduli, perché stiamo integrando su un intervallo sul quale le basi di numeratore e denominatore sono positivi ∫_(2)^(8)(2t^2+1)/(t)dt = dividiamo termine a termine ∫_(2)^(8)(2t^2)/(t)+(1)/(t)dt = ∫_(2)^(8)(2t+(1)/(t))dt = Ora grazie alla linearità dell'integrale ∫_(2)^(8)2tdx+∫_(2)^(8)(1)/(t)dt = ci troviamo di fronte a due integrali fondamentali, che possiamo calcolare facilmente = [t^2+log(t)]_(2)^(8) = 64+log(8)-4-log(2) = 60+log(4) avendo nell'ultimo passaggio usato una ben nota proprietà dei logaritmi. Detto, fatto. Namasté-Agente Ω