Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di approssimare il valore che la funzione f(x)=x^2 nel punto x=1,5 usando la formula di Taylor centrata nel punto x_0=1.

    (a) La formula di Taylor centrata nel punto x_0=1 al primo ordine è:

    f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+o(x-1)

    dove

    \bullet \ \ \ f(1) è il valore che la funzione assume in 1;

    \bullet \ \ \ f'(1) è il valore che la derivata prima di f(x) assume in 1;

    \bullet \ \ \ o(x-1) è l'o-piccolo di x-1 per x\to 1.

    Nel caso in esame

    \\ f(1)=1  \\ \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[x^2]=2x \ \ \ \to \ \ \ f'(1)=2

    pertanto la formula di Taylor diventa

    f(x)=1+2(x-1)+o(x-1)

    Se trascuriamo l'o-piccolo, la precedente uguaglianza si tramuta in un'approssimazione

    f(x)\simeq 1+2(x-1)

    grazie alla quale saremo in grado di ricavare il valore approssimato: basta rimpiazzare x con 1,5

    f(1,5)\simeq 1+2(1,5-1)=1+2\cdot (0,5)=1+1=2

    In altri termini, approssimando f(x) con il proprio polinomio di Taylor di grado 1, scopriamo che f(1,5)\simeq 2.

    (b) Per rispondere al secondo punto del problema dovremo sviluppare ulteriormente f(x) raggiungendo l'ordine 2

    f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 +o((x-1)^2)

    dove f''(1) è il valore che la derivata seconda assume nel punto 1.

    Se trascuriamo il resto di Peano, la precedente relazione si tramuta nella seguente approssimazione

    f(x)\simeq f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2

    dove f(1)=1, \ f'(1)=2\ \mbox{e} \ f''(1)=2, per cui:

    f(x)\simeq 1+2(x-1)+\frac{2}{2}(x-1)^2=1+2(x-1)+(x-1)^2

    Rimpiazziamo x con 1,5 ottenendo così:

    \\ f(1,5)\simeq 1+2(1,5-1)+(1,5-1)^2=\\ \\ =1+2\cdot(0,5)+(0,5)^2=\\ \\ =2,25

    pertanto f(1,5)\simeq 2,25.

    Osservazione importante: se sviluppiamo il quadrato del binomio x-1 e svolgiamo i calcoli, l'espressione

    1+2(x-1)+(x-1)^2=

    diventa

    \\ =1+2x-2+(x^2-2x+1)= \\ \\ =1+2x-2+x^2-2x+1=x^2

    In altri termini, il polinomio di Taylor di secondo grado coincide con la funzione stessa, pertanto 2,25 è il valore esatto che f(x)=x^2 assume in 1,5.

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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