Soluzioni
  • Per determinare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso

    z=\frac{(i-1)^{12}}{(i+1)^{10}}

    conviene esprimerlo in forma algebrica, ma le potenze presenti al numeratore e al denominatore non semplificano di certo il nostro compito.

    Una strategia risolutiva consiste nell'esprimere le basi delle potenze in forma trigonometrica e in seguito sfruttare la formula di De Moivre. Poniamo per semplicità di esposizione

    w_1=i-1 \ \ \ ; \ \ \ w_2=i+1

    e passiamoli dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. In base alle definizioni di modulo e argomento di un numero complesso, scopriamo che il modulo e l'argomento di w_1 valgono rispettivamente

    \\ |w_1|=\sqrt{Re(w_1)^2+Im(w_1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \\ \\ Arg(w_1)=\arctan\left(\frac{Im(w_1)}{Re(w_1)}\right)+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}

    Osservazione: abbiamo usato tale relazione per il calcolo dell'argomento perché il numero w_1 ha parte reale negativa e parte immaginaria positiva.

    La forma trigonometrica del numero complesso w_1 è dunque

    \\ w_1=|w_1|\left[\cos\left(Arg(w_1)\right)+i\sin\left(Arg(w_1)\right)\right]= \\ \\ =\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]

    pertanto la potenza complessa (i-1)^{12} diventa

    \\ (i-1)^{12}=w_1^{12}=|w_1|^{12}\left[\cos\left(Arg(w_1)\right)+i\sin\left(Arg(w_1)\right)\right]^{12}= \\ \\ \\ =(\sqrt{2})^{12}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]^{12}=

    Sfruttiamo la formula di De Moivre mediante la quale otteniamo che la potenza dodicesima è -64

    \\ =2^{6}\left[\cos\left(12\cdot\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(12\cdot\frac{3\pi}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ =2^{6}\left[\cos\left(9\pi\right)+i\sin\left(9\pi\right)\right]=-64

    Procediamo allo stesso modo per determinare la potenza decima di w_2. Calcoliamo il modulo con la relativa formula

    |w_2|=\sqrt{Re(w_2)^{2}+Im(w_2)^{2}}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

    Per quanto concerne l'argomento di w_2 osserviamo che la sua parte reale e la sua parte immaginaria sono rispettivamente

    Re(w_2)=1 \ \ \ ; \ \ \ Im(w_2)=1

    pertanto il numero complesso giace nel primo quadrante del piano di Gauss e dunque il suo argomento si ottiene mediante la formula

    Arg(w_2)=\arctan\left(\frac{Im(w_2)}{Re(w_2)}\right)=\arctan\left(1\right)=\frac{\pi}{4}

    Il numero w_2, espresso nella forma trigonometrica, è

    \\ w_2=|w_2|\left[\cos(Arg(w_2))+i\sin(Arg(w_2))\right]= \\ \\ =\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

    e, sfruttando ancora una volta la formula di De Moivre, otteniamo la potenza decima di w_2

    \\ (i+1)^{10}=w_2^{10}=|w_2|^{10}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]^{10}= \\ \\ \\ =(\sqrt{2})^{10}\left[\cos\left(10\cdot\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(10\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right]= \\ \\ \\ = 2^{5}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)\right]=32i

    Ora che disponiamo delle due potenze, siamo autorizzati a scrivere il rapporto iniziale come segue:

    z=\frac{(i-1)^{12}}{(i+1)^{10}}=\frac{-64}{32i}=\frac{-2}{i}=2i

    In definitiva la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso z sono

    Re(z)=0\ \ \ ; \ \ \ Im(z)=2

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
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