Soluzioni
  • Per rispondere alle due domande occorre conoscere la definizione di massimo e minimo, oltre ai vari teoremi sullo studio dei massimi e minimi.

    (a) Una funzione che risponde ai requisiti della prima domanda è f(x)=x^2, infatti ha un solo punto di minimo assoluto per x=0.

    Per dimostrarlo, calcoliamo la sua derivata prima usando la regola per la derivata di una potenza

    f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}[x^2]=2x

    A questo punto osserviamo che f'(x) è:

    - positiva per x>0, di conseguenza f(x) è funzione strettamente crescente in (0,+\infty);

    - negativa per x<0, per cui f(x) è strettamente decrescente in (-\infty,0);

    - nulla per x=0, per cui è un punto stazionario per f(x).

    Esaminando la monotonia della funzione, desumiamo che x=0 è un punto di minimo assoluto per f(x) e il minimo vale f(0)=0.

    Il grafico della funzione f(x)=x^2 coincide con la parabola convessa di vertice nell'origine e passante per il punto (1,1).

     

    Problema sul grafico di una funzione

     

    In generale, per fare in modo che una funzione continua su \mathbb{R} ammetta un solo punto di minimo, deve valere la seguente condizione: deve esistere un solo punto x_0\in\mathbb{R} tale che la funzione sia strettamente crescente in (x_0,+\infty) e strettamente decrescente in (-\infty, x_0).

     

    (2) Per quanto concerne il secondo esercizio, consideriamo la funzione

    f(x)=x^2

    nell'intervallo chiuso e limitato [0,1]. In questa circostanza, l'esistenza del punto di massimo e l'esistenza del punto di minimo assoluti sono garantiti dal teorema di Weierstrass per le funzioni continue.

    Risultato problema sul grafico di una funzione

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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