Soluzioni
  • Per procedere con questa sono in attesa che sia chiusa l'altra, come da regolamento. Quando l'hai chiusa, avvisami qui Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Fatto Wink

    Risposta di Misia
  • Faccio cambio con Omega :D. Il tempo di rispondere e arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Il trucco in questo caso è porre:

    z(x)= y'(x)\implies z'(x)= y''(x)

    L'equazione differenziale si riscrive come:

    z'(x)+4x z(x)+4 e^{-2x^2}=0

    La condizione iniziale 

    y'(0)=z(0)=0

     

    In questo modo ci troviamo di fronte una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti variabili non omogenea. Per questo tipo di equazioni esiste una formula risolutiva, certo laboriosa, ma funzionale:

    Scriviamo l'equazione in forma normale:

    z'(x)+4x z(x)= -4e^{-2x^2}

    La soluzione generale è data da:

    e^{-\int_0^x a(t) dt}\left(z_0+\int_{0}^x e^{\int_0^x a(z) dz} b(t) dt\right)

     

    Dove \int_{x0}^x a(t) dt=\int_{x_0}^x 4t dt

     

    Valutiamo:

     \int_{0}^x 4tdt= 2x^2

    Sostitiamo quello che abbiamo ottenuto:

    z(x)= e^{-2x^2}4\left(\int_{0}^x -e^{2t^2 } e^{-2 t^2}  dt\right)

    z(x)= -4e^{-2x^2}x

     

    Sappiamo quindi che:

    z(x)= y'(x)= -4xe^{-2x^2}

    Integrando questa espressione:

    y(x)= \int 4x e^{-2x^2}dx=+e^{-2x^2}+c

    Imponendo la condizione iniziale:

    y(0)=1\implies c+1=1\implies c= 0

    La soluzione è

    y(x)= e^{-2x^2}

    Risposta di Ifrit
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