Equazione differenziale del primo ordine a coefficienti variabili

Salve non riesco a risolvere la seguente equazione differenziale, è del primo ordine a coefficienti variabili e non omogenea: mi crea problemi perchè il termine in x compare sia al termine noto che al termine di primo grado. Oltre che la soluzione mi interessa proprio capire come va affrontata.

$y''Â +4xy'+4e^{-2x^2}=0$

Grazie dell'aiuto.

In Uni - Analisi - Domanda di Misia

Soluzioni

Per procedere con questa sono in attesa che sia chiusa l'altra, come da regolamento. Quando l'hai chiusa, avvisami qui
Namasté!
Risposta di Omega
Fatto
Risposta di Misia
Faccio cambio con Omega :D. Il tempo di rispondere e arrivo :)
Risposta di Ifrit
Il trucco in questo caso è porre:
$z(x)= y'(x)\implies z'(x)= y''(x)$
L'equazione differenziale si riscrive come:
$z'(x)+4x z(x)+4 e^{-2x^2}=0$
La condizione iniziale

In questo modo ci troviamo di fronte una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti variabili non omogenea. Per questo tipo di equazioni esiste una formula risolutiva, certo laboriosa, ma funzionale:
Scriviamo l'equazione in forma normale:
$z'(x)+4x z(x)= -4e^{-2x^2}$
La soluzione generale è data da:
$e^{-\int_0^x a(t) dt}\left(z_0+\int_{0}^x e^{\int_0^x a(z) dz} b(t) dt\right)$

Dove $\int_{x0}^x a(t) dt=\int_{x_0}^x 4t dt$

Valutiamo:
$\int_{0}^x 4tdt= 2x^2$
Sostitiamo quello che abbiamo ottenuto:
$z(x)= e^{-2x^2}4\left(\int_{0}^x -e^{2t^2 } e^{-2 t^2} Â dt\right)$
$z(x)= -4e^{-2x^2}x$

Sappiamo quindi che:
$z(x)= y'(x)= -4xe^{-2x^2}$
Integrando questa espressione:
$y(x)= \int 4x e^{-2x^2}dx=+e^{-2x^2}+c$
Imponendo la condizione iniziale:
$y(0)=1\implies c+1=1\implies c= 0$
La soluzione è
$y(x)= e^{-2x^2}$
Risposta di Ifrit