Esercizio sui triangoli qualsiasi con la Trigonometria

Buondì! Devo risolvere un esercizio di Trigonometria sui triangoli (qualsiasi) e sul raggio della circonferenza circoscritta e inscritta. Avrei bisogno del vostro aiuto, potreste darmi una mano?

L'ampiezza dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è 120°. Calcola il rapporto fra il raggio della circonferenza circoscritta e il raggio di quella inscritta.

Grazie 1000! :D

Domanda di ely
Soluzione

Dato che abbiamo a che fare con un triangolo isoscele (click!), gli angoli alla base misurano 30^(o) ciascuno, mentre l'altezza è anche mediana e bisettrice.

Ragioniamo sulle due circonferenze, separatamente

Circonferenza circoscritta

Osserviamo che il triangolo con vertici il vertice del triangolo isoscele (sia esso A), il centro O della circonferenza e il vertice B del triangolo isoscele (vertice di base) è isoscele nel lato l.

Con il teorema del coseno, possiamo esprimere il raggio in termini del lato.

Basta osservare infatti che in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana è bisettrice, quindi l'angolo AOB misura 60^(o) e quindi dal teorema del coseno ricaviamo

l^2 = 2R^2−2R^2cos((60^(o))) = 2R^2−R^2 = R^2

e quindi

R = l

Circonferenza inscritta

Chiamiamo O' il centro della circonferenza e consideriamo il raggio O'T' che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza. Se chiamiamo A il vertice del triangolo e BC la base, segue che il triangolo O'T'A è un triangolo rettangolo.

Questo triangolo è simile al triangolo AHB, infatti i tre angoli sono rispettivamente congruenti e sappiamo che vale la relazione

AT'= l−(b)/(2)

D'altra parte, ricordando le formule goniometriche per triangoli rettangoli

(b)/(2) = lsin((60^(o))) = (√(3))/(2)l

e quindi

AT'= (1−(√(3))/(2))l

Possiamo calcolare nel triangolo O'T'A

AT'= rtan(AO'T') = rtan((30^(o))) = r(1)/(√(3))

quindi uguagliando le due formule

r = (√(3)−(3)/(2))l

Non resta che calcolare il rapporto dei due raggi:

(r)/(R) = (√(3)−(3)/(2))

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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