Esercizio sui triangoli qualsiasi con la Trigonometria

Question

Buondì! Devo risolvere un esercizio di Trigonometria sui triangoli (qualsiasi) e sul raggio della circonferenza circoscritta e inscritta. Avrei bisogno del vostro aiuto, potreste darmi una mano? L'ampiezza dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è 120°. Calcola il rapporto fra il raggio della circonferenza circoscritta e il raggio di quella inscritta. Grazie 1000! :D

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Dato che abbiamo a che fare con un triangolo isoscele (click!), gli angoli alla base misurano ciascuno, mentre l'altezza è anche mediana e bisettrice.

Ragioniamo sulle due circonferenze, separatamente

Circonferenza circoscritta

Osserviamo che il triangolo con vertici il vertice del triangolo isoscele (sia esso ), il centro della circonferenza e il vertice del triangolo isoscele (vertice di base) è isoscele nel lato .

Con il teorema del coseno, possiamo esprimere il raggio in termini del lato.

Basta osservare infatti che in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana è bisettrice, quindi l'angolo misura e quindi dal teorema del coseno ricaviamo

e quindi

Circonferenza inscritta

Chiamiamo il centro della circonferenza e consideriamo il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza. Se chiamiamo il vertice del triangolo e la base, segue che il triangolo è un triangolo rettangolo.

Questo triangolo è simile al triangolo , infatti i tre angoli sono rispettivamente congruenti e sappiamo che vale la relazione

D'altra parte, ricordando le formule goniometriche per triangoli rettangoli

e quindi

AT'= (1−(√(3))/(2))l

Possiamo calcolare nel triangolo

quindi uguagliando le due formule

Non resta che calcolare il rapporto dei due raggi:

Namasté!