Esercizio sui triangoli qualsiasi con la Trigonometria
Buondì! Devo risolvere un esercizio di Trigonometria sui triangoli (qualsiasi) e sul raggio della circonferenza circoscritta e inscritta. Avrei bisogno del vostro aiuto, potreste darmi una mano?
L'ampiezza dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è 120°. Calcola il rapporto fra il raggio della circonferenza circoscritta e il raggio di quella inscritta.
Grazie 1000! :D
Dato che abbiamo a che fare con un triangolo isoscele (click!), gli angoli alla base misurano ciascuno, mentre l'altezza è anche mediana e bisettrice.
Ragioniamo sulle due circonferenze, separatamente
Circonferenza circoscritta
Osserviamo che il triangolo con vertici il vertice del triangolo isoscele (sia esso ), il centro
della circonferenza e il vertice
del triangolo isoscele (vertice di base) è isoscele nel lato
.
Con il teorema del coseno, possiamo esprimere il raggio in termini del lato.
Basta osservare infatti che in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana è bisettrice, quindi l'angolo misura
e quindi dal teorema del coseno ricaviamo
e quindi
Circonferenza inscritta
Chiamiamo il centro della circonferenza e consideriamo il raggio
che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza. Se chiamiamo
il vertice del triangolo e
la base, segue che il triangolo
è un triangolo rettangolo.
Questo triangolo è simile al triangolo , infatti i tre angoli sono rispettivamente congruenti e sappiamo che vale la relazione
D'altra parte, ricordando le formule goniometriche per triangoli rettangoli
e quindi
Possiamo calcolare nel triangolo
quindi uguagliando le due formule
Non resta che calcolare il rapporto dei due raggi:
Namasté!
Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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