Soluzioni
  • Dato che abbiamo a che fare con un triangolo isoscele (click!), gli angoli alla base misurano 30^(o) ciascuno, mentre l'altezza è anche mediana e bisettrice.

    Ragioniamo sulle due circonferenze, separatamente

    Circonferenza circoscritta

    Osserviamo che il triangolo con vertici il vertice del triangolo isoscele (sia esso A), il centro O della circonferenza e il vertice B del triangolo isoscele (vertice di base) è isoscele nel lato l.

    Con il teorema del coseno, possiamo esprimere il raggio in termini del lato.

    Basta osservare infatti che in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana è bisettrice, quindi l'angolo AOB misura 60^(o) e quindi dal teorema del coseno ricaviamo

    l^2 = 2R^2-2R^2cos((60^(o))) = 2R^2-R^2 = R^2

    e quindi

    R = l

    Circonferenza inscritta

    Chiamiamo O' il centro della circonferenza e consideriamo il raggio O'T' che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza. Se chiamiamo A il vertice del triangolo e BC la base, segue che il triangolo O'T'A è un triangolo rettangolo.

    Questo triangolo è simile al triangolo AHB, infatti i tre angoli sono rispettivamente congruenti e sappiamo che vale la relazione

    AT'= l-(b)/(2)

    D'altra parte, ricordando le formule goniometriche per triangoli rettangoli

    (b)/(2) = lsin((60^(o))) = (√(3))/(2)l

    e quindi

    AT'= (1-(√(3))/(2))l

    Possiamo calcolare nel triangolo O'T'A

    AT'= rtan(AO'T') = rtan((30^(o))) = r(1)/(√(3))

    quindi uguagliando le due formule

    r = (√(3)-(3)/(2))l

    Non resta che calcolare il rapporto dei due raggi:

    (r)/(R) = (√(3)-(3)/(2))

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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