Soluzioni
  • Dato che abbiamo a che fare con un triangolo isoscele (click!), gli angoli alla base misurano 30^{o} ciascuno, mentre l'altezza è anche mediana e bisettrice.

    Ragioniamo sulle due circonferenze, separatamente

    Circonferenza circoscritta

    Osserviamo che il triangolo con vertici il vertice del triangolo isoscele (sia esso A), il centro O della circonferenza e il vertice B del triangolo isoscele (vertice di base) è isoscele nel lato l.

    Con il teorema del coseno, possiamo esprimere il raggio in termini del lato.

    Basta osservare infatti che in un triangolo isoscele l'altezza è anche mediana è bisettrice, quindi l'angolo AOB misura 60^{o} e quindi dal teorema del coseno ricaviamo

    l^2=2R^2-2R^2\cos{(60^{o})}=2R^2-R^2=R^2

    e quindi

    R=l

    Circonferenza inscritta

    Chiamiamo O' il centro della circonferenza e consideriamo il raggio O'T' che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza. Se chiamiamo A il vertice del triangolo e BC la base, segue che il triangolo O'T'A è un triangolo rettangolo.

    Questo triangolo è simile al triangolo AHB, infatti i tre angoli sono rispettivamente congruenti e sappiamo che vale la relazione

    AT'=l-\frac{b}{2}

    D'altra parte, ricordando le formule goniometriche per triangoli rettangoli

    \frac{b}{2}=l\sin{(60^{o})}=\frac{\sqrt{3}}{2}l

    e quindi

    AT'=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)l

    Possiamo calcolare nel triangolo O'T'A

    AT'=r\tan{(AO'T')}=r\tan{(30^{o})}=r\frac{1}{\sqrt{3}}

    quindi uguagliando le due formule

    r=\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)l

    Non resta che calcolare il rapporto dei due raggi:

    \frac{r}{R}=\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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