Matrice associata a un endomorfismo in un nuovo riferimento
Ho un endomorfismo definito da una matrice nel riferimento naturale e dovrei trovare la matrice che lo rappresenta in un nuovo riferimento. Potreste spiegarmi cosa devo fare? Vi riporto il teso preciso dell'esercizio.
Sia 
l'endomorfismo associato, nel riferimento naturale, alla matrice
![A = [1 1 2 ; 0 5 0 ; 2 2 4]](/images/joomlatex/8/e/8e3c6e60126f13130978c0d80afa399e.gif)
Determinare la matrice associata a 
nel riferimento definito dalla base
Dai dati forniti dalla traccia sappiamo che
è l'endomorfismo definito dalla matricenel riferimento naturale, e ciò vuol dire che
è la matrice associata a rispetto alla base canonica di 
.Ci viene chiesto di calcolare la matrice
associata a rispetto alla baseIndichiamo con
la base canonica di , con 
la matrice di passaggio da a 
e con 
la matrice di cambiamento di base da a .Per la formula del cambiamento di base per endomorfismi abbiamo che
dove
indica il prodotto tra matrici.In definitiva, per risolvere l'esercizio basta calcolare le matrici
e svolgere un paio di prodotti.Per com'è definita la matrice di cambiamento di base,
ha come colonne i vettori di ![M_(mathcalB → mathcalC) = [1 1 0 ; 0 0 1 ; 1 0 1]](/images/joomlatex/2/7/27327afffe16a4df6b3eb61f95ad65ae.gif)
è, invece, la matrice inversa di ![M_(mathcalC → mathcalB) = (M_(mathcalB → mathcalC))^(-1) = [1 1 0 ; 0 0 1 ; 1 0 1]^(-1) = [0 -1 1 ; 1 1 -1 ; 0 1 0]](/images/joomlatex/3/6/3634f7c3fb2484de16ce205d47699b8c.gif)
Abbiamo, ora, tutto quello che serve per determinare
![A_f^(mathcalB) = M_(mathcalC → mathcalB)·A·M_(mathcalB → mathcalC) = [0 -1 1 ; 1 1 -1 ; 0 1 0] [1 1 2 ; 0 5 0 ; 2 2 4] [1 1 0 ; 0 0 1 ; 1 0 1] = [ 6 2 1 ;-3 -1 2 ; 0 0 5]](/images/joomlatex/a/1/a1a6d1934e4da4e7002608ab357dc60b.gif)
Con questo è tutto!
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