Soluzioni
  • Consideriamo la funzione razionale fratta

    f(x)=\frac{6x}{x-2}

    Per calcolarne il dominio bisogna richiedere che il denominatore sia diverso da zero, vale a dire:

    x-2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 2

    per cui:

    \mbox{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\ne 2\}=

    che nella notazione tipica degli intervalli si riscrive in maniera equivalente come:

    =(-\infty,2)\cup (2,+\infty)

    Noto l'insieme di esistenza, possiamo occuparci dei limiti agli estremi del dominio:

    \lim_{x\to-\infty}f(x) \ \  ,\ \ \lim_{x\to 2^{-}}f(x) \ \ , \ \ \lim_{x\to 2^{+}}f(x) \ \ , \ \ \lim_{x\to+\infty}f(x)

    Cominciamo dal limite per x\to -\infty

    \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{6x}{x-2}=\left[\frac{-\infty}{-\infty}\right]=

    Siamo di fronte a una forma di indecisione del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere mettendo in evidenza x al denominatore

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{6x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}=

    dopodiché semplificando x, il limite diventa

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{6}{1-\frac{2}{x}}=6

    Il limite è 6 perché il termine \frac{2}{x} è infinitesimo per x\to -\infty.

    Il limite sinistro per x\to 2 è -\infty, infatti:

    \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{6x}{x-2}=\left[\frac{6\cdot 2}{0^{-}}\right]=-\infty

    Il valore del limite destro per x\to 2 è invece +\infty, come dimostrato dai seguenti passaggi:

    \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{6x}{x-2}=\left[\frac{6\cdot 2}{0^{+}}\right]=+\infty

    Osservazione: nel calcolo del limite destro e di quello sinistro è intervenuta l'algebra degli infinitesimi.

    Possiamo occuparci del limite per x\to +\infty avvalendoci della tecnica usata per il calcolo del limite per x\to -\infty

    \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{6x}{x-2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{6x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{6}{1-\frac{2}{x}}=6

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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