Soluzioni
  • Il metodo per passare dall'equazione cartesiana di un piano alle equazioni parametriche è davvero molto semplice e si basa essenzialmente sul numero di incognite che vi figurano.

    Ragioniamo sul caso specifico, ossia sull'equazione cartesiana del piano

    \pi:\ x-5y+z=0

    nella quale compaiono le tre incognite x,y,z. In questa circostanza abbiamo possibilità di scelta sulle lettere da eleggere a parametro: scegliamo ad esempio di porre y=s\ \mbox{e} \ z=t cosicché la relazione diventi

    x-5s+t=0

    Esprimiamo x in termini di s e di t isolandola al primo membro

    x=5s-t

    Abbiamo finito! Le relazioni

    x=5s-t,\ y=s,\ z=t

    costituiscono le equazioni parametriche del piano \pi:

    \begin{cases}x=5s-t\\ y=s\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con}\ s,t\in\mathbb{R}

    Osservazione

    Se avessimo assegnato il ruolo di parametro alle incognite x,y, ponendo x=s, y=t, le equazioni parametriche sarebbero state

    \pi: \ \begin{cases}x=s\\ y=t\\ z=-s+5t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

    Ancora, se avessimo posto x=s,z=t, le equazioni parametriche di \pi sarebbero state invece

    \pi:\ \begin{cases}x=s\\ y=\frac{s}{5}+\frac{t}{5}\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

    Sebbene abbiano espressioni analitiche differenti, le equazioni parametriche individuano sempre e comunque il medesimo piano \pi.

    Risposta di Ifrit
 
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