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  • Ciao Namis, arrivo subito...Wink

    Risposta di Omega
  • Tu stai calcolando gli autovalori della matrice, immagino, e stai calcolando il determinante della matrice

    det(A-t I)=P(t)

    cioè il suo polinomio caratteristico. Quindi calcoliamo questo simpaticissimo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus (che permette di calcolare velocemente il determinante di matrici 3x3, e vale solo in questo caso) oppure con Laplace:

    P(t)=det \left[\begin{matrix}1-t&1&0 \\ 1&-t&1\\ 0&1&-t \end{matrix}\right]

    Troviamo

    P(t)=-t^3+t^2+2t-1

    Gli zeri del polinomio caratteristico sono gli autovalori della matrice:

    -t^3+t^2+2t-1=0

    Questo polinomio ha tre radici distinte in \mathbb{R}, ciascuno con molteplicità algebrica 1. Dato che la molteplicità geometrica è minore-uguale della molteplicità algebrica, per un fissato autovalore, qui necessariamente i tre autovalori hanno tutti molteplicità geometrica 1.

    Dato che molteplicità geometrica e molteplicità algebrica coincidono per ogni singolo autovalore, la matrice è diagonalizzabile.

    Si poteva tagliare corto dicendo che la matrice ha tutti gli autovalori reali distinti, e quindi è diagonalizzabile, ma è sempre meglio spiegare il perché.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Scusami ma non mi viene, ho difficoltà su questo passaggio... potresti farmi proprio lo svolgimento dei calcoli?

    Risposta di namis
  • Certamente! Per calcolare il determinante, usando la regola di Sarrus, abbiamo:

    P(t)=(1-t)(-t)(-t)+(0)(1)(1)+(1)(0)(0)-(0)(-t)(0)-(1)(1)(-t)-(1)(1)(1-t)

    da cui

    P(t)=t^2-t^3+t-1+t

    ossia

    P(t)=-t^3+t^2+2t-1

    Questo polinomio non si può scomporre con Ruffini, ma si può far vedere, ad esempio con il teorema degli zeri, che ammette tre radici distinte in \mathbb{R}, che poi sono gli autovalori della matrice

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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