Soluzioni
  • L'altezza di un prisma quadrangolare regolare si calcola come h=V/L2, ossia dividendo il volume del prisma per il quadrato dello spigolo di base, oppure come h=Slat/(4L), ossia dividendo l'area della superficie laterale per il quadruplo dello spigolo di base.

     

    Altezza prisma quadrangolare regolare

    Altezza prisma quadrangolare regolare = V/L2 = Slat/(4L).

     

    Formule per l'altezza del prisma quadrangolare regolare

    La misura dell'altezza di un prisma qualsiasi (retto, regolare o obliquo) è data dal rapporto tra il volume del prisma e l'area di base.

    \mbox{Altezza prisma qualsiasi} = \frac{V}{S_b}

    Nel caso di un prisma retto (e in particolare di un prisma regolare) la misura dell'altezza si può calcolare anche dividendo l'area della superficie laterale per la misura del perimetro di base.

    \mbox{Altezza prisma retto (o regolare)} = \frac{S_{lat}}{2p}

    Un prisma quadrangolare regolare è un prisma retto le cui basi sono quadrati.

    Dalle formule sul quadrato è noto che:

    • l'area di un quadrato è data dal quadrato della misura del lato;

    • il perimetro di un quadrato si calcola moltiplicando la misura del lato per 4.

    Se indichiamo con L la misura dello spigolo di base e con h l'altezza del prisma regolare quadrangolare, abbiamo

    \\ S_b=L^2 \\ \\ 2p=4L

    e quindi

    \\ h=\frac{V}{S_b}=\frac{V}{L^2} \\ \\ \\ h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{S_{lat}}{4L}

    Per un elenco con tutte le formule del prisma quadrangolare regolare, comprese le formule inverse dell'altezza, ti rimandiamo all'approfondimento del link.

    Esercizi svolti sull'altezza del prisma regolare quadrangolare

    1) Il volume di un prisma quadrangolare regolare è di 18 centimetri cubi. Calcolare la misura dell'altezza del prisma sapendo che la diagonale del quadrato di base misura 2√2 centimetri.

    Svolgimento: conosciamo il volume del prisma

    V=18 \mbox{ cm}^3

    e la misura della diagonale del quadrato di base

    d=2\sqrt{2} \mbox{ cm}

    Da qui possiamo ricavare il lato del quadrato L

    L=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{2} \mbox{ cm}}{\sqrt{2}} = 2 \mbox{ cm}

    e quindi la misura dell'altezza del prisma

    h=\frac{V}{L^2}=\frac{18 \mbox{ cm}^3}{(2 \mbox{ cm})^2}=\frac{18 \mbox{ cm}^3}{4 \mbox{ cm}^2}=4,5 \mbox{ cm}

    2) Calcolare la misura dell'altezza di un prisma quadrangolare regolare di cui è noto che l'area di base è di 2,25 dm2 e che l'area della superficie laterale è di 54 dm2.

    Svolgimento: dai dati forniti dalla traccia sono note l'area di base e l'area della superficie laterale

    \\ S_b=2,25 \mbox{ dm}^2 \\ \\ S_{lat}=54 \mbox{ dm}^2

    Per determinare l'altezza del prisma ci manca la misura L dello spigolo di base. Calcoliamola estraendo la radice quadrata dell'area di base

    L=\sqrt{S_b}=\sqrt{2,25 \mbox{ dm}^2} = 1,5 \mbox{ dm}

    e concludiamo trovando l'altezza del prisma come rapporto tra l'area della superficie laterale e il quadruplo dello spigolo di base

    h=\frac{S_{lat}}{4L}=\frac{54 \mbox{ dm}^2}{4 \times (1,5 \mbox{ dm})} =\frac{54 \mbox{ dm}^2}{6 \mbox{ dm}} = 9 \mbox{ dm}

    3) Lo spigolo di base di un prisma regolare a base quadrata è di 3 metri e l'area della sua superficie totale del prisma è di 78 metri quadrati. Quanto è alto il prisma?

    Svolgimento: trascriviamo i dati.

    \\ L=3 \mbox{ m} \\ \\ S_{tot}=78 \mbox{ m}^2

    Calcoliamo l'area e il perimetro di base

    S_{b}=L^2=(3 \mbox{ m})^2 = 9 \mbox{ m}^2 \\ \\ 2p=4L = 4 \times (3 \mbox{ m}) = 12 \mbox{ m}

    Troviamo l'area della superficie laterale del prisma come differenza tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

    \\ S_{lat} = S_{tot}-2S_b = \\ \\ = (78 \mbox{ m}^2) - 2 \times (9 \mbox{ m}^2) = \\ \\ = (78 \mbox{ m}^2) - (18 \mbox{ m}^2) = 60 \mbox{ m}^2

    Possiamo infine determinare la misura dell'altezza del prisma come rapporto tra l'area della superficie laterale e il perimetro di base

    h=\frac{S_{lat}}{2p}=\frac{60 \mbox{ m}^2}{12 \mbox{ m}} = 5 \mbox{ m}

    ***

    Qui abbiamo finito! Casomai volessi approfondire, puoi leggere:

    - la lezione sulla classificazione di prismi e parallelepipedi;

    - il formulario su prisma retto e prisma regolare;

    - la scheda di esercizi svolti sul prisma.

    Risposta di Galois
 
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