Soluzioni
  • Ciao Toguttina, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Procediamo per passi per risolvere l'esercizio:

    1) determiniamo le equazioni parametriche della retta s

    Per farlo assegnamo ad una delle variabili il ruolo di parametro, ad esempio z=t e risolviamo il sistema delle due equazioni in favore di x,y. Troviamo

    z=t

    x=\frac{2}{3}t

    y=\frac{1}{3}t

    Quindi la retta s ha equazioni parametriche

    x=\frac{2}{3}t

    y=\frac{1}{3}t

    z=t

    e passa per il punto O=(0,0,0) e ha direzione parallela alla direzione \left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},1\right).

    2) Determiniamo la direzione tra un punto della retta e il punto P=(5,1,0)

    Ad esempio la direzione OP=P-O=(5,1,0).

    3) Determiniamo i parametri direttori del piano passante per il punto e contenente la retta.

    Per farlo, calcoliamo il prodotto vettoriale tra le due direzioni: la direzione PO e la direzione parallela alla retta s che ci fornisce la direzione perpendicolare ad entrambe. Questa direzione fornisce i parametri direttori del piano, che rappresentano proprio la direzione di una normale al piano considerato.

    (5,1,0)\times (2/3,1/3,1)=(1,-5,1)

    4) Determiniamo l'equazione cartesiana del piano

    L'equazione del piano, che in generale in forma cartesiana è della forma

    ax+by+cz+d=0

    qui sarà

    x-5y+z+d=0

    Per calcolare d imponiamo il passaggio del piano per il punto P=(5,1,0) e troviamo d=0, quindi l'equazione cartesiana del piano è data da

    x-5y+z=0

    5) Passaggio alle equazioni parametriche del piano

    Dato che un piano è individuato da due direzioni, assegnamo a due delle variabili i valori di due parametri, ad esempio

    z=\alpha

    y=\beta

    x=5\beta-\alpha

    ed abbiamo concluso l'esercizio! Tongue

    Namasté!

    Risposta di Omega
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