Soluzioni
  • Eccomi, ciao volpi arrivo!!:D

    Risposta di Ifrit
  • Rispondo prima alle domande:

    \log(x-1) non puo essere sviluppato in serie di McLaurin (serie di Taylor con centro x=0), perché x=0 non appartiene al dominio della funzione:

    x_0=0\notin \mbox{dom}(\log(x-1)).

    La stessa cosa vale per \sqrt{x-1}

    Sei convinto?

    Intanto io penso al limite ;)

    Risposta di Ifrit
  • si

    Risposta di Volpi
  • Procediamo col calcolo del limite con Taylor, scriviamo alcuni sviluppi che ci serviranno (ho scelto io l'ordine 5, ma non credo che servirà nell'esercizio, e per inciso puoi fare riferimento alla tabella degli sviluppi di Taylor)

    1) \frac{1}{1-t}= 1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+o(t^5)

    2) e^{t}= 1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}+\frac{t^5}{5!}+o(t^5)

    3) \cos(t)= 1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4!}+o(t^5)

    4) \log(1-t)=-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}-\frac{t^5}{5}+o(t^5)


    La prima cosa da fare è scrivere il logaritmo di modo che ci si possa ricondurre allo sviluppo notevole dello stesso ( vedi 4) ).

    \log(2 e^x-1)= \log\left(2 e^x\left(1-\frac{1}{2 e^x}\right)\right)

    Per la proprietà dei logaritmi:

    \log(a b)= \log(a)+\log(b)

    abbiamo che:

    \log(2 e^x-1)= \log(2 )+\log(e^x)+\log\left(1-\frac{1}{2 e^x}\right)= \log(2)+x+\log\left(1-\frac{1}{2 e^x}\right)

    A questo punto osserviamo che:

    e^x=  1+xt+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)

    Pertanto

    \frac{1}{e^x}= \frac{1}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(xt^3)}

    A questo punto interviene lo sviluppo 1)

    \frac{1}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}=

    \frac{1}{1-\left(-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)}

    per lo sviluppo abbiamo che:

    \frac{1}{1-\left(-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right)}

    =1+(-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right))+(-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right))^2+(-x-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\right))^3+o(x^3)

    Facendo i conti otterrai che:

    \frac{1}{e^x}=1-x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    e dunque:

    \frac{1}{2e^x}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{12}+o(x^3)

    Pertanto:

    \log(1-\frac{1}{2 e^x})=\log(1-\frac{1}{2}+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+o(x^3)) = (dopo conti infiniti)

    -\log(2)+x-x^2+x^3+o(x^3)

    Dunque:

    \log(2 e^x-1)= \log(2 )+\log(e^x)+\log\left(1-\frac{1}{2 e^x}\right)=

    =\log(2)+x+\log\left(1-\frac{1}{2 e^x}\right)=

    \log(2)+x-\log(2)+x-x^2+x^3+o(x^3)=

    2x-x^2+x^3+o(x^3)

    Ora:

    \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)  

    Pertanto:

    \cos^2(x)=(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3))^2=1-x^2+o(x^3)

    di conseguenza:

    x^3\cos^2(x)=x^3-x^6+o(x^3)= x^3+o(x^3) 

    Ricomponendo il limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{2x-x^2+x^3+o(x^3)-2x+x^3}{x^3+o(x^3)}= \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^3}=1

    Risposta di Ifrit
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi