Soluzioni
  • Noi abbiamo l'equazione cartesiana di un piano

    -10x-14y+14z+64=0

    e possiamo riscrivere l'equazione in una forma più semplice, per alleggerire un po' i calcoli (tanto è pur sempre un'equazione)

    -5x-7y+7z+32=0

    L'idea per determinare la retta passante per un punto e perpendicolare a un piano nello spazio prevede di usare una nota formula che permette di scrivere le equazioni cartesiane della retta conoscendo un punto di passaggio e la sua direzione.

    \frac{x-x_Q}{a}=\frac{y-y_Q}{b}=\frac{z-z_Q}{c}

    dove (x_Q,y_Q,z_Q) è un punto di passaggio della retta mentre (a,b,c) è il vettore che individua la direzione della retta nello spazio.

    Ora, noi sappiamo che i coefficienti direttori del piano (-5,-7,+7) rappresentano la direzione della normale al piano stesso.  

    La retta che cerchiamo è perpendicolare al piano, quindi ha direzione data da (-5,-7,+7) e passa per il punto Q=(1,1,0). Usando la precedente formula troviamo 

    \frac{x-1}{-5}=\frac{y-1}{-7}=\frac{z}{7}

    Attenzione: se vogliamo determinare la forma cartesiana della retta, dalla formula dobbiamo ricavare due equazioni cartesiane che messe a sistema individuano la retta. In particolare tali equazioni individuano due piani che, intersecandosi, descrivono la retta.

    Possiamo ad esempio scrivere

    \begin{cases}\frac{x-1}{-5}=\frac{y-1}{-7}\\ \frac{y-1}{-7}=\frac{z}{7}\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}7x-5y-2=0\\ z+y-1=0\end{cases}

    Ovviamente questo sistema non va risolto e va lasciato scritto così com'è, perché è proprio il sistema di equazioni cartesiane della retta cercata.

    Per determinare le equazioni parametriche della retta potremmo partire dalla rappresentazione cartesiana e seguire il metodo per passare dalle equazioni cartesiane della retta alle equazioni parametriche, ma qui non serve.

    È ben più comodo e pratico scrivere direttamente le equazioni parametriche della retta perché disponiamo di un punto appartenente alla retta (Q) e della sua direzione v.

    Le equazioni parametriche, in forma vettoriale, si scrivono come

    P=Q+tv

    o, nelle singole componenti, come

    \begin{cases}x=1-5t\\ y=1-7t\\ z=7t\end{cases}

    e abbiamo finito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille, adesso è tutto chiaro! :)

    Risposta di toguttina
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