Domande su dettagli esercizi matrici e App lineari

Eccoci: per calcolare il determinante una matrice puoi ridurla a gradini oppure no, non cambia granché almeno nel caso di matrici di piccole dimensioni (non più di 4x4).

Però, se vedi che ci sono anche solo due righe o due colonne linearmente dipendenti, non stare a disturbarti: il determinante sarà necessariamente nullo! 

Per calcolare l'inversa, invece, non ridurre a scalini. Procedi al calcolo diretto: ridurre la matrice a scalini infatti semplifica il calcolo del determinante ma non il calcolo della matrice inversa.

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"la dimensione del nucleo corrisponde al numero di variabili libere che ottengo dopo aver costruito la matrice associata?"

...all'applicazione lineare considerata. Certamente, e qui la riduzione a scala mediante la procedura di eliminazione gaussiana può esserti di grande aiuto.

"la molteplicità geometrica è la dimensione del nucleo della matrice che ottengo sostituendo gli  autovalori alla lambda nella matrice principale?"

Cioè, se intendi che la molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione di , sì. :)

"un'applicazione lineare che è iniettiva, questa sarà sempre anche suriettiva? quindi un'applicazione è iniettiva è sempre biiettiva? (perchè il teorema della dimensione mi dice che se il ker=0 allora dimIm=dimV)."

Si, se però stiamo parlando di un endomorfismo, cioè di un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale a valori in sè, definito su uno spazio di dimensione finita. Segue dal teorema di Nullità più rango, come correttamente hai osservato.

Namasté!