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Ciao Namis, arrivo a risponderti...
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Eccoci: per calcolare il determinante una matrice puoi ridurla a gradini oppure no, non cambia granché almeno nel caso di matrici di piccole dimensioni (non più di 4x4).
Però, se vedi che ci sono anche solo due righe o due colonne linearmente dipendenti, non stare a disturbarti: il determinante sarà necessariamente nullo!
Per calcolare l'inversa, invece, non ridurre a scalini. Procedi al calcolo diretto: ridurre la matrice a scalini infatti semplifica il calcolo del determinante ma non il calcolo della matrice inversa.
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"la dimensione del nucleo corrisponde al numero di variabili libere che ottengo dopo aver costruito la matrice associata?"
...all'applicazione lineare considerata. Certamente, e qui la riduzione a scala mediante la procedura di eliminazione gaussiana può esserti di grande aiuto.
"la molteplicità geometrica è la dimensione del nucleo della matrice che ottengo sostituendo gli autovalori alla lambda nella matrice principale?"
Cioè, se intendi che la molteplicità geometrica di un autovalore
è la dimensione di
, sì. :)
"un'applicazione lineare che è iniettiva, questa sarà sempre anche suriettiva? quindi un'applicazione è iniettiva è sempre biiettiva? (perchè il teorema della dimensione mi dice che se il ker=0 allora dimIm=dimV)."
Si, se però stiamo parlando di un endomorfismo, cioè di un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale a valori in sè, definito su uno spazio di dimensione finita. Segue dal teorema di Nullità più rango, come correttamente hai osservato.
Namasté!
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Riguardo l'ultima domanda: vabè comunque in ogni caso mi basta vedere la dimensione del nucleo: se è zero allora è iniettiva; per la suriettività: se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale allora è suriettiva, no?
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Certamente :) con una piccola precisazione: l'applicazione è suriettiva se la dimensione dell'immagine coincide con la dimensione dello spazio vettoriale di arrivo. Ma tanto qui stiamo parlando di endomorfismi, quindi il problema non si pone...
Namasté!
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