Soluzioni
  • Ciao Namis, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: per calcolare il determinante una matrice puoi ridurla a gradini oppure no, non cambia granché almeno nel caso di matrici di piccole dimensioni (non più di 4x4).

    Però, se vedi che ci sono anche solo due righe o due colonne linearmente dipendenti, non stare a disturbarti: il determinante sarà necessariamente nullo! Laughing

    Per calcolare l'inversa, invece, non ridurre a scalini. Procedi al calcolo diretto: ridurre la matrice a scalini infatti semplifica il calcolo del determinante ma non il calcolo della matrice inversa.

    ---

    "la dimensione del nucleo corrisponde al numero di variabili libere che ottengo dopo aver costruito la matrice associata?"

    ...all'applicazione lineare considerata. Certamente, e qui la riduzione a scala mediante la procedura di eliminazione gaussiana può esserti di grande aiuto.

    "la molteplicità geometrica è la dimensione del nucleo della matrice che ottengo sostituendo gli  autovalori alla lambda nella matrice principale?"

    Cioè, se intendi che la molteplicità geometrica di un autovalore \lambda è la dimensione di Ker(A-\lambda I), sì. :)

    "un'applicazione lineare che è iniettiva, questa sarà sempre anche suriettiva? quindi un'applicazione è iniettiva è sempre biiettiva? (perchè il teorema della dimensione mi dice che se il ker=0 allora dimIm=dimV)."

    Si, se però stiamo parlando di un endomorfismo, cioè di un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale a valori in sè, definito su uno spazio di dimensione finita. Segue dal teorema di Nullità più rango, come correttamente hai osservato.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Riguardo l'ultima domanda: vabè comunque in ogni caso mi basta vedere la dimensione del nucleo: se è zero allora è iniettiva; per la suriettività: se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale allora è suriettiva, no?

    Risposta di namis
  • Certamente :) con una piccola precisazione: l'applicazione è suriettiva se la dimensione dell'immagine coincide con la dimensione dello spazio vettoriale di arrivo. Ma tanto qui stiamo parlando di endomorfismi, quindi il problema non si pone...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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