Problema coi radicali applicati alla geometria con rettangolo?

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Ciao, mi date una mano per un problema di Geometria con i radicali.

 

Un rettangolo di base a e altezza b ha perimetro 36 cm. Aumentando la base e l'altezza rispettivamente di (3+√(2)) cm e (2√(2)) cm, il rapporto tra base e altezza non cambia. Determina l'area del rettangolo.

 

Risultato: Area 72(5√(2)-6) cm^2.

Domanda di Dam

 
Soluzioni

  • Ciao Dam,

    chiamiamo H l'altezza e B la base così non ci confondiamo.

    Dalla formula per il perimetro del rettangolo abbiamo

    2H+2B = 36 cm

    D'altra parte, sappiamo anche che

    (B+3+√(2))/(H+2√(2)) = (B)/(H)

    Intanto, dalla seconda relazione possiamo riscrivere

    (B+3+√(2))/(B) = (H+2√(2))/(H)

    Dividiamo termine a termine:

    1+(3+√(2))/(B) = 1+(2√(2))/(H)

    cioè

    (3+√(2))/(B) = (2√(2))/(H)

    cioè

    H = (2√(2))/(3+√(2))·B

    Ora sostituiamo nella formula del perimetro

    2(2√(2))/(3+√(2))·B+2B = 36

    semplifichiamo entrambi i membri per 2

    (2√(2))/(3+√(2))B+B = 18

    cioè

    (2√(2)+3+√(2))B = 18 (3+√(2))

    cioè

    B = 18 (3+√(2))/(3√(2)+3) = 6(√(2)+3)/(√(2)+1)

    quindi

    H = (2√(2))/(3+√(2))·6 (√(2)+3)/(√(2)+1) = (6(2√(2)))/(√(2)+1)

    Siamo così in grado di calcolare l'area:

    A = B·H = (6(2√(2)))/(√(2)+1)·(6 (√(2)+3))/(√(2)+1) = (144+216√(2))/(3+2√(2)) =

    ora ci sta proprio bene una bella razionalizzazione: moltiplichiamo e dividiamo per 3-2√(2), e otteniamo con qualche semplice calcolo

    = 72(5√(2)-6) cm

    PS: nel caso i radicali dovessero darti noia, ti consiglio di fare un ripassino con la lezione del link. ;)

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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