Problema coi radicali applicati alla geometria con rettangolo?

Question

Ciao, mi date una mano per un problema di Geometria con i radicali. Un rettangolo di base a e altezza b ha perimetro 36 cm. Aumentando la base e l'altezza rispettivamente di (3+√(2)) cm e (2√(2)) cm, il rapporto tra base e altezza non cambia. Determina l'area del rettangolo. Risultato: Area 72(5√(2)-6) cm^2.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Dam, chiamiamo H l'altezza e B la base così non ci confondiamo. Dalla formula per il perimetro del rettangolo abbiamo 2H+2B = 36 cm D'altra parte, sappiamo anche che (B+3+√(2))/(H+2√(2)) = (B)/(H) Intanto, dalla seconda relazione possiamo riscrivere (B+3+√(2))/(B) = (H+2√(2))/(H) Dividiamo termine a termine: 1+(3+√(2))/(B) = 1+(2√(2))/(H) cioè (3+√(2))/(B) = (2√(2))/(H) cioè H = (2√(2))/(3+√(2))·B Ora sostituiamo nella formula del perimetro 2(2√(2))/(3+√(2))·B+2B = 36 semplifichiamo entrambi i membri per 2 (2√(2))/(3+√(2))B+B = 18 cioè (2√(2)+3+√(2))B = 18 (3+√(2)) cioè B = 18 (3+√(2))/(3√(2)+3) = 6(√(2)+3)/(√(2)+1) quindi H = (2√(2))/(3+√(2))·6 (√(2)+3)/(√(2)+1) = (6(2√(2)))/(√(2)+1) Siamo così in grado di calcolare l'area: A = B·H = (6(2√(2)))/(√(2)+1)·(6 (√(2)+3))/(√(2)+1) = (144+216√(2))/(3+2√(2)) = ora ci sta proprio bene una bella razionalizzazione: moltiplichiamo e dividiamo per 3-2√(2), e otteniamo con qualche semplice calcolo = 72(5√(2)-6) cm PS: nel caso i radicali dovessero darti noia, ti consiglio di fare un ripassino con la lezione del link. ;) Namasté-Agente Ω