Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di semplificare l'espressione con i polinomi

    2a^2b^2\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left(a-\frac{1}{2}b\right)+\frac{1}{2}(ab^2-2)(ab^2+2)=

    avvalendoci dei prodotti notevoli appropriati. Prima di buttarci a capofitto sui calcoli, analizziamo per bene i termini e individuiamo quali possano essere le regole in grado di ridurre i passaggi.

    Dovrebbe balzare all'occhio il prodotto della somma per la differenza dei monomi a \ \mbox{e} \ \frac{1}{2}b, o ancora dei monomi a^2\ \mbox{e} \ 2: beh, non abbiamo molta scelta!

    Ripassiamo la regola: il prodotto della somma per la differenza di due termini è uguale alla differenza tra il quadrato del primo e il quadrato del secondo termine.

    Essa consente di scrivere l'espressione come segue:

    =2a^2b^2\left[a^2+\left(\frac{1}{2}b\right)^2\right]+\frac{1}{2}\left[(ab^2)^2-2^2\right]=

    da cui, usando le proprietà delle potenze

    =2a^2b^2\left[a^2+\frac{1}{4}b^2\right]+\frac{1}{2}\left[a^2b^{4}-4\right]=

    A questo punto svolgiamo i prodotti tra i monomi per i polinomi: è sufficiente distribuire il fattore esterno a ciascun termine interno alle parentesi quadre.

    =2a^2b^2\cdot a^2-2a^2b^2\cdot \frac{1}{4}b^2+\frac{1}{2}a^2b^4-\frac{1}{2}\cdot 4=

    Eseguiamo le operazioni tra i monomi, dando la precedenza ai prodotti

    \\ =2a^{2+2}b^2-\frac{2}{4}a^2b^{2+2}+\frac{1}{2}a^2b^4-2= \\ \\ \\ = 2a^4b^2-\frac{1}{2}a^2b^4+\frac{1}{2}a^2b^4-2=

    e occupandoci in seguito delle somme tra i monomi simili

    \\ =2a^4b^2+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)a^2b^4-2= \\ \\ \\ =2a^4b^2-2

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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