Limite per razionalizzazione con forma infinito - infinito

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Dovrei calcolare il seguente limite effettuando una razionalizzazione, ma non so come procedere

 

lim_(x → +∞)(x+2-√(x^2+2x))

 

Da quello che ho capito, il limite genera una forma indeterminata ma non so risolverla. Grazie.

Domanda di rdm90

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → +∞)(x+2-√(x^2+2x)) = (•)

    si presenta nella forma indeterminata [+∞-∞] che può essere sciolta mediante razionalizzazione: moltiplichiamo e dividiamo per il termine

    x+2+√(x^2+2x)

    così che il limite diventi

    (•) = lim_(x → +∞)((x+2-√(x^2+2x))(x+2+√(x^2+2x)))/(x+2+√(x^2+2x)) =

    Svolgiamo i conti al numeratore sfruttando la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza

    = lim_(x → +∞)((x+2)^2-(√(x^2+2x))^2)/(x+2+√(x^2+2x)) =

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e sommiamo tra loro i termini simili

    = lim_(x → +∞)(x^2+4x+4-(x^2+2x))/(x+2+√(x^2+2x)) = lim_(x → +∞)(2x+4)/(x+2+√(x^2+2x)) =

    Mettiamo in evidenza x^2 nel radicando al denominatore

    = lim_(x → +∞)(2x+4)/(x+2+√(x^2(1+(2)/(x)))) =

    e invochiamo la proprietà delle radici che ci permette di scrivere la radice quadrata del prodotto come il prodotto di radici quadrate a patto che i radicandi siano non negativi.

    = lim_(x → +∞)(2x+4)/(x+2+√(x^2)√(1+(2)/(x))) =

    In accordo con la definizione di valore assoluto sappiamo valere l'identità

    √(x^2) = |x| per ogni x∈R

    mediante la quale possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    = lim_(x → +∞)(2x+4)/(x+2+|x|√(1+(2)/(x))) =

    Poiché x → +∞ tale variabile sarà definitivamente positiva pertanto |x| = x

    = lim_(x → +∞)(2x+4)/(x+2+x√(1+(2)/(x))) =

    A questo punto mettiamo in evidenza x sia al numeratore che al denominatore e semplifichiamoli tra loro

    = lim_(x → +∞)(x(2+(4)/(x)))/(x(1+(2)/(x)+√(1+(2)/(x)))) = lim_(x → +∞)(2+(4)/(x))/(1+(2)/(x)+√(1+(2)/(x))) = (2)/(2) = 1

    Abbiamo concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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