Integrale con delta minore di zero

Salve a tutti, come si risolvono gli integrali con delta minore di zero? Intendo gli integrali di funzioni razionali fratte con denominatore di secondo grado avente delta minore di 0.

 

Prendiamo ad esempio un caso semplice:

 

\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx.

 

Il denominatore ha il delta minore di zero, come mi comporto? Grazie in anticipo. :)

In Uni - Analisi - Domanda di revictor

Soluzioni

  • Osserviamo che l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il denominatore ha discriminante minore di zero: a tutti gli effetti siamo di fronte ad un cosiddetto integrale con delta negativo a denominatore.

    Il modo di procedere prevede di scrivere il denominatore come somma di un quadrato e di una costante, in questo modo ci ricondurremo agevolmente ad una funzione la cui primitiva è un'arcotangente (a meno di costanti additive).

    Per esprimere il denominatore come una somma di quadrati, è sufficiente completare il quadrato procedendo come segue:

    x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1

    quindi l'integrale proposto diventa

    \int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\int\frac{1}{1+(x+2)^2}dx=(\bullet)

    Osserviamo ora al numeratore abbiamo la derivata del termine (x+2), di conseguenza siamo di fronte ad un integrale fondamentale del tipo

    \int\frac{f'(x)}{1+(f(x))^2}dx=\arctan(f(x))+c

    Nel nostro caso, se prendiamo f(x)=x+2 abbiamo f'(x)=1 e quindi

    \int\frac{1}{1+(x+2)^2}dx=\arctan(x+2)+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

    dove c è una costante reale additiva.

    L'esercizio è concluso. Se vuoi studiare il metodo nel dettaglio ti rimando alla lezione sugli integrali con delta negativo.

    Risposta di Ifrit
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