Soluzioni
  • Osserviamo che l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il denominatore ha discriminante minore di zero: a tutti gli effetti siamo di fronte ad un cosiddetto integrale con delta negativo a denominatore.

    Il modo di procedere prevede di scrivere il denominatore come somma di un quadrato e di una costante, in questo modo ci ricondurremo agevolmente ad una funzione la cui primitiva è un'arcotangente (a meno di costanti additive).

    Per esprimere il denominatore come una somma di quadrati, è sufficiente completare il quadrato procedendo come segue:

    x^2+4x+5 = x^2+4x+4+1 = (x+2)^2+1

    quindi l'integrale proposto diventa

    ∫(1)/(x^2+4x+5)dx = ∫(1)/(1+(x+2)^2)dx = (•)

    Osserviamo ora al numeratore abbiamo la derivata del termine (x+2), di conseguenza siamo di fronte ad un integrale fondamentale del tipo

    ∫(f'(x))/(1+(f(x))^2)dx = arctan(f(x))+c

    Nel nostro caso, se prendiamo f(x) = x+2 abbiamo f'(x) = 1 e quindi

    ∫(1)/(1+(x+2)^2)dx = arctan(x+2)+c con c∈R

    dove c è una costante reale additiva.

    L'esercizio è concluso. Se vuoi studiare il metodo nel dettaglio ti rimando alla lezione sugli integrali con delta negativo.

    Risposta di Ifrit
 
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