Soluzioni
  • Osserviamo che l'integranda è una funzione razionale fratta in cui il denominatore ha discriminante minore di zero: a tutti gli effetti siamo di fronte ad un cosiddetto integrale con delta negativo a denominatore.

    Il modo di procedere prevede di scrivere il denominatore come somma di un quadrato e di una costante, in questo modo ci ricondurremo agevolmente ad una funzione la cui primitiva è un'arcotangente (a meno di costanti additive).

    Per esprimere il denominatore come una somma di quadrati, è sufficiente completare il quadrato procedendo come segue:

    x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1

    quindi l'integrale proposto diventa

    \int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\int\frac{1}{1+(x+2)^2}dx=(\bullet)

    Osserviamo ora al numeratore abbiamo la derivata del termine (x+2), di conseguenza siamo di fronte ad un integrale fondamentale del tipo

    \int\frac{f'(x)}{1+(f(x))^2}dx=\arctan(f(x))+c

    Nel nostro caso, se prendiamo f(x)=x+2 abbiamo f'(x)=1 e quindi

    \int\frac{1}{1+(x+2)^2}dx=\arctan(x+2)+c\mbox{ con }c\in\mathbb{R}

    dove c è una costante reale additiva.

    L'esercizio è concluso. Se vuoi studiare il metodo nel dettaglio ti rimando alla lezione sugli integrali con delta negativo.

    Risposta di Ifrit
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