Soluzioni
  • Il problema ci chiede di ricavare una retta che sia perpendicolare e incidente a un'altra. Per risolverlo procederemo per passi.

    Il primo prevede di passare dalla rappresentazione cartesiana della retta r a una rappresentazione parametrica. Per farlo partiamo dalle equazioni che definiscono r

    r \ :\ \begin{cases}x+y-2z+1=0\\ x-2y+z=0\end{cases}

    Dalla prima equazione isoliamo x

    \begin{cases}x=-y+2z-1\\ x-2y+z=0\end{cases}

    dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

    \\ \begin{cases}x=-y+2z-1\\ (-y+2z-1)-2y+z=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x=-y+2z-1\\ -3y+3z-1=0\end{cases}

    Scegliamo di isolare y al primo membro della seconda equazione

    \begin{cases}x=-y+2z-1\\ \\ y=z-\dfrac{1}{3}\end{cases}

    e sostituiamo l'espressione nella prima

    \begin{cases}x=-\left(z-\dfrac{1}{3}\right)+2z-1 \ \ \ \to \ \ \ x=z-\frac{2}{3}\\ \\ y=z-\dfrac{1}{3}\end{cases}

    A questo punto consideriamo z come parametro libero, poniamo cioè z=t, e riscriviamo le variabili x,y,z in funzione del nuovo parametro

    r \ : \begin{cases}x=t-\dfrac{2}{3}\\ \\ y=t-\dfrac{1}{3}\\ \\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Quella che abbiamo ottenuto è una possibile rappresentazione parametrica della retta r. Da essa è possibile estrarre il seguente vettore direttore

    \mathbf{v}_{r}=(1,1,1)

    Poiché la retta s deve essere perpendicolare e incidente a r, consideriamo un generico punto Q di r

    Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})=\left(t-\dfrac{2}{3},t-\dfrac{1}{3},t\right)

    e calcoliamo le componenti del vettore che congiunge P(1,0,2) con Q

    \\ \overrightarrow{PQ}=(x_{Q}-x_{P},y_{Q}-y_{P},z_{Q}-z_{P})= \\ \\ =\left(t-\frac{2}{3}-1,t-\frac{1}{3}-0,t-2\right)= \\ \\ \\ = \left(t-\frac{5}{3},t-\frac{1}{3},t-2\right)

    Affinché \overrightarrow{PQ} sia un vettore direttore della retta s, dobbiamo richiedere che esso sia perpendicolare al vettore direttore di r: deve perciò valere la condizione di perpendicolarità tra vettori

    \overrightarrow{PQ}\cdot\mathbf{v}_{r}=0

    In altri termini il vettore \overrightarrow{PQ} è perpendicolare al vettore \mathbf{v}_{r} se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Impostiamo l'equazione nell'incognita t

    \left(t-\frac{5}{3},t-\frac{1}{3},t-2\right)\cdot (1,1,1)=0

    sviluppiamo il prodotto scalare al primo membro e calcoliamo la soluzione

    \\ t-\frac{5}{3}+t-\frac{1}{3}+t-2=0\\ \\ 3t-4=0 \ \ \ \to \ \ \ t=\frac{4}{3}

    Sostituiamo il valore ottenuto nel vettore \overrightarrow{PQ}, così da ottenere

    \overrightarrow{PQ}=\left(-\frac{1}{3},1,-\frac{2}{3}\right)

    L'esercizio è praticamente concluso perché \overrightarrow{PQ} è un vettore direttore della retta s, inoltre poiché essa deve passare per il punto P(1,0,2), una sua possibile rappresentazione parametrica è

    \\ s \ : \ \mathbf{x}=P+\overrightarrow{PQ} t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R} \\ \\ (x,y,z)=(1,0,2)+\left(-\frac{1}{3},1,-\frac{2}{3}\right)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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