Retta perpendicolare e incidente una retta nello spazio

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In un esercizio sulle rette nello spazio mi viene chiesto di trovare la retta passante per un punto e che sia incidente e perpendicolare a un'altra retta di equazione nota. Potreste darmi qualche suggerimento?

 

Rappresentare la retta s passante per il punto P(1,0,2) e perpendicolare e incidente la retta r di equazioni

 

r: x+y-2z+1 = x-2y+z = 0

 

Grazie.

Domanda di Giulialg88

 
Soluzioni

  • Il problema ci chiede di ricavare una retta che sia perpendicolare e incidente a un'altra. Per risolverlo procederemo per passi.

    Il primo prevede di passare dalla rappresentazione cartesiana della retta r a una rappresentazione parametrica. Per farlo partiamo dalle equazioni che definiscono r

    r : x+y-2z+1 = 0 ; x-2y+z = 0

    Dalla prima equazione isoliamo x

    x = -y+2z-1 ; x-2y+z = 0

    dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

    x = -y+2z-1 ; (-y+2z-1)-2y+z = 0 ; x = -y+2z-1 ;-3y+3z-1 = 0

    Scegliamo di isolare y al primo membro della seconda equazione

    x = -y+2z-1 ; y = z-(1)/(3)

    e sostituiamo l'espressione nella prima

    x = -(z-(1)/(3))+2z-1 → x = z-(2)/(3) ; y = z-(1)/(3)

    A questo punto consideriamo z come parametro libero, poniamo cioè z = t, e riscriviamo le variabili x,y,z in funzione del nuovo parametro

    r : x = t-(2)/(3) ; y = t-(1)/(3) ; z = t con t∈R

    Quella che abbiamo ottenuto è una possibile rappresentazione parametrica della retta r. Da essa è possibile estrarre il seguente vettore direttore

    v_(r) = (1,1,1)

    Poiché la retta s deve essere perpendicolare e incidente a r, consideriamo un generico punto Q di r

    Q(x_(Q),y_(Q),z_(Q)) = (t-(2)/(3),t-(1)/(3),t)

    e calcoliamo le componenti del vettore che congiunge P(1,0,2) con Q

    overrightarrowPQ = (x_(Q)-x_(P),y_(Q)-y_(P),z_(Q)-z_(P)) = (t-(2)/(3)-1,t-(1)/(3)-0,t-2) = (t-(5)/(3),t-(1)/(3),t-2)

    Affinché overrightarrowPQ sia un vettore direttore della retta s, dobbiamo richiedere che esso sia perpendicolare al vettore direttore di r: deve perciò valere la condizione di perpendicolarità tra vettori

    overrightarrowPQ·v_(r) = 0

    In altri termini il vettore overrightarrowPQ è perpendicolare al vettore v_(r) se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Impostiamo l'equazione nell'incognita t

    (t-(5)/(3),t-(1)/(3),t-2)·(1,1,1) = 0

    sviluppiamo il prodotto scalare al primo membro e calcoliamo la soluzione

    t-(5)/(3)+t-(1)/(3)+t-2 = 0 ; 3t-4 = 0 → t = (4)/(3)

    Sostituiamo il valore ottenuto nel vettore overrightarrowPQ, così da ottenere

    overrightarrowPQ = (-(1)/(3),1,-(2)/(3))

    L'esercizio è praticamente concluso perché overrightarrowPQ è un vettore direttore della retta s, inoltre poiché essa deve passare per il punto P(1,0,2), una sua possibile rappresentazione parametrica è

    s : x = P+ overrightarrowPQ t con t∈R ; (x,y,z) = (1,0,2)+(-(1)/(3),1,-(2)/(3))t con t∈R

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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