Ciao Volpi, sono subito da te :) il tempo di scrivere la risposta
Penso che tu ti sia perso da qualche parte nei calcoli, ma ci sei andato molto molto vicino. In limiti di questo tipo piuttosto che utilizzare il limite notevole che hai citato conviene procedere con una paio di trucchetti algebrici. Applicare il suddetto limite notevole non è sbagliato, solo che complica abbastanza i calcoli, perché bisogna ragionare sugli esponenti, fare molta attenzione ai segni, etc.
Ti propongo un modo equivalente per procedere in questi casi, a mio avviso più semplice. Usiamo l'identità logaritmica
che si basa sulla definizione di logaritmo e su una nota proprietà del logaritmo stesso.
Riscriviamo la funzione usando l'identità appena proposta
Ora osserviamo che
cosicché possiamo semplificare l'argomento del logaritmo riscrivendolo come
Ora, grazie al limite notevole del logaritmo, possiamo passare alla funzione asintoticamente equivalente per
All'esponente non serve svolgere il prodotto tra i due denominatori: prendiamo solamente gli infiniti principali e moltiplichiamoli tra loro
Adesso valutare la convergenza/divergenza della successione è semplice: se
abbiamo come limite
se
abbiamo come limite
caso che dobbiamo escludere, come da richiesta.
Infine se
abbiamo come limite
e quindi la risposta all'esercizio è data dal caso
.
Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere :)
Namasté!
ah si mi son dimenticato al denominatore dell'esponenziale il 2 che moltiplica l'n^3
mi trovo meglio con il limite notevole!! :)
grz
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