Valore di un parametro per convergenza di una successione

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Salve un esercizio mi dà una successione con parametro e devo determinare i valori del parametro per i quali la successione è convergente.

 

Determinare il parametro \alpha \in\mathbb{R} in modo che la successione

 

a_n=\left(\frac{n^2+2}{n^2+1}\right)^\frac{n^\alpha}{2n+1}

 

sia convergente ad un valore diverso da 1 ed indicare il suo limite.

 

Allora svolgendolo a me è venuto che la successione è convergente per i valori del parametro \alpha<3, poiché risolvendo con il limite notevole

 

\left(\frac{1+a_n}{a_n}\right)^{\alpha_n} =e

 

torna e^{\frac{n^\alpha}{n^3}}, è corretto?

 

Mentre per quanto riguarda "indicarne il suo limite" si intende mostrare l'espressione qui sopra?

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Ciao Volpi, sono subito da te :) il tempo di scrivere la risposta 

    Risposta di Omega

  • Penso che tu ti sia perso da qualche parte nei calcoli, ma ci sei andato molto molto vicino. In limiti di questo tipo piuttosto che utilizzare il limite notevole che hai citato conviene procedere con una paio di trucchetti algebrici. Applicare il suddetto limite notevole non è sbagliato, solo che complica abbastanza i calcoli, perché bisogna ragionare sugli esponenti, fare molta attenzione ai segni, etc.

    Ti propongo un modo equivalente per procedere in questi casi, a mio avviso più semplice. Usiamo l'identità logaritmica

    a^b=e^{\log{(a^b)}}=e^{b\log{(a)}}

    che si basa sulla definizione di logaritmo e su una nota proprietà del logaritmo stesso.

    Riscriviamo la funzione usando l'identità appena proposta

    f(x)=e^{\frac{n^{\alpha}}{2n+1}\log{\left(\frac{n^2+2}{n^2+1}\right)}}

    Ora osserviamo che n^2+2=n^2+1+1 cosicché possiamo semplificare l'argomento del logaritmo riscrivendolo come

    f(x)=e^{\frac{n^{\alpha}}{2n+1}\log{\left(1+\frac{1}{n^2+1}\right)}}

    Ora, grazie al limite notevole del logaritmo, possiamo passare alla funzione asintoticamente equivalente per n\to +\infty

    f(x)=e^{\frac{n^{\alpha}}{2n+1}\frac{1}{n^2+1}}

    All'esponente non serve svolgere il prodotto tra i due denominatori: prendiamo solamente gli infiniti principali e moltiplichiamoli tra loro

    f(x)=e^{\frac{n^{\alpha}}{2n^3}}

    Adesso valutare la convergenza/divergenza della successione è semplice: se \alpha=3 abbiamo come limite

    e^{\frac{1}{2}}

    se \alpha<3 abbiamo come limite

    e^{0}=1

    caso che dobbiamo escludere, come da richiesta. 

    Infine se \alpha>3 abbiamo come limite

    +\infty

    e quindi la risposta all'esercizio è data dal caso \alpha=3.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere :)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ah si mi son dimenticato al denominatore dell'esponenziale il 2 che moltiplica  l'n^3

    mi trovo meglio con il limite notevole!! :)

    grz

     

     

    Risposta di Volpi
 
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