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  • La definizione di spazio euclideo più generale possibile è la seguente: uno spazio euclideo è uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare qualsiasi.

    In altri termini, se V è uno spazio vettoriale definito sul campo \mathbb{R} dei numeri reali, si dice che V è uno spazio euclideo se è definita un'applicazione

    \langle \ , \ \rangle : V \times V \to \mathbb{R}

    che a ogni coppia di vettori (\mathbf{v}, \mathbf{w}) associa uno scalare, indicato con \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle, e che soddisfa le seguenti proprietà \forall\ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{w} \in V,\ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}

    a) Linearità rispetto alla prima componente

    \langle \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2, \ \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{w} \rangle + \beta \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{w} \rangle

    b) Simmetria

    \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\rangle = \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1\rangle

    c) Se uno dei due vettori è il vettore nullo di V, il prodotto scalare è zero

    \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{0}_V \rangle = \langle \mathbf{0}_V, \mathbf{v}_1 \rangle = 0

    Inoltre, se il prodotto scalare è definito positivo, cioè se

    d) per ogni \mathbf{v} \in V con \mathbf{v}\neq \mathbf{0}

    \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle > 0

    lo spazio euclideo si dice spazio euclideo proprio.

    Esempi di spazi euclidei

    1) Lo spazio vettoriale \mathbb{R}^n dotato del prodotto scalare canonico è uno spazio euclideo proprio.

    A tal proposito osserviamo che

    \mathbb{R}^n=\{(x_1, x_2, ..., x_n) \mbox{ t.c. } x_i \in \mathbb{R}\ \forall i \in \{1,2,...,n\}\}

    dotato delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare è uno spazio vettoriale reale; inoltre, il prodotto scalare canonico

    \cdot: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\ \\ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n

    è un prodotto scalare definito positivo.

    2) Lo spazio vettoriale \mathbb{R}^3 munito del prodotto scalare

    \langle \ , \ \rangle: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}

    definito da

    \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = -2x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1-x_2y_2-x_3y_3

    è uno spazio euclideo, ma non è proprio in quanto il suddetto prodotto scalare non è definito positivo.

    Per convincersene è sufficiente considerare il vettore

    \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)=(1,-1,0) \in \mathbb{R}^3

    e osservare che

    \\ \langle \mathbf{x},\mathbf{x} \rangle = \langle (1,-1,0) , (1,-1,0) \rangle = \\ \\ = -2(1)(1)+(1)(-1)+(-1)(1)-(-1)(-1)-(0)(0) = \\ \\ = -2-1-1-1 = -5

    Avendo trovato un vettore \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 diverso dal vettore nullo e tale per cui

    \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle < 0

    possiamo concludere che il prodotto scalare in esame non è definito positivo, e quindi siamo di fronte a uno spazio euclideo non proprio.

    3) Lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n a elementi reali, che indichiamo con Mat(n,n,\mathbb{R}), dotato del prodotto scalare

    \\ \langle \ , \ \rangle: Mat(n,n,\mathbb{R}) \times Mat(n,n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \\ \\ \langle A, B \rangle = \mbox{Tr}(B^TA)

    è uno spazio euclideo proprio.

    Per chi avesse dubbi in merito, ricordiamo che \mbox{Tr} indica la traccia di una matrice, ossia la somma degli elementi della diagonale principale, e che ^T rappresenta l'operazione di trasposizione.

    A cosa serve la nozione di spazio euclideo?

    Senza scendere troppo nel dettaglio, si ha la necessità di introdurre il concetto di spazio euclideo perché le proprietà che discendono dalla definizione di spazio vettoriale non bastano per definire l'ortogonalità tra vettori, in quanto è intimamente legata alla nozione di prodotto scalare.

    Per fissare le idee, se nello spazio tridimensionale ordinario consideriamo l'insieme di tutti i vettori liberi munito delle operazioni di somma tra vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare, si ottiene uno spazio vettoriale di dimensione 3, solitamente indicato con \mathcal{V}^3.

    Fissato un riferimento cartesiano affine, \mathcal{V}^3 è l'ambiente in cui si introducono le equazioni di rette e piani nello spazio a tre dimensioni e in cui si può studiare, in tutta tranquillità, il parallelismo tra rette, tra piani e tra rette e piani.

    Se volessimo definire il concetto di perpendicolarità dovremmo inevitabilmente appoggiarci alla nozione di prodotto scalare. Dovremmo, ad esempio, munire \mathcal{V}^3 del prodotto scalare canonico, trovandoci così a lavorare in uno spazio euclideo.

    Altre definizioni di spazio euclideo

    Per concludere ci teniamo a precisare che alcuni libri di testo danno una definizione molto più restrittiva di spazio euclideo, definendolo come lo spazio vettoriale \mathbb{R}^n munito del prodotto scalare canonico.

    Altri, ancora, si limitano a dire che lo spazio euclideo è un insieme in cui valgono tutte le proprietà, gli assiomi e i teoremi della Geometria Euclidea che si studiano alle superiori. Sebbene non sia una definizione formale è comunque corretta e permette di definire il giusto ambiente di lavoro senza coinvolgere direttamente un prodotto scalare.

    Risposta di Galois
 
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