Integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva

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Ciao vorrei porvi una domanda sull'integrale di linea di una forma differenziale esatta.

Avendo la forma differenziale esatta

 

ω = (partial f(x; y))/(partial x)dx+(partial f(x; y))/(partial y)dy

 

che voglio integrare lungo la curva gamma con x = φ(t) e y = ρ(t), sviluppo l'integrale

 

∫_(a)^(b)ω dt = ∫_(a)^(b)[(partial f(φ (t); ρ(t)))/(partial x)φ'(t)+(partial f(φ (t); ρ(t)))/(partial y)ρ'(t)]dt

 

mi viene detto che si risolve semplicemente così

 

f(φ(b);  ρ(b))-f(φ(a);  ρ(a))

 

Ora, vorrei sapere perchè posso affermare questo ultimo passaggio così velocemente? So che se la forma differenziale è esatta, il campo è conservativo e dunque tale integrale dipende solo dagli estremi di integrazione, però, se potete indicarmi magari come si arriva a questo ultimo risultato ve ne sarei grato!

Domanda di Neumann

 
Soluzioni

  • Segue dalla regola di derivazione per funzioni composte, preferisco la notazione vettoriale, perché mette meglio in evidenza la questione:

    Abbiamo (partial_x f, partial_y f) = nabla f(x, y)

    Se poniamo x = φ(t), y = ρ(t) e sia γ(t) = (φ(t), ρ(t))

    Per la regola di derivazione per funzioni composte:

    (d f(γ(t)))/(dt) = nabla f(γ(t))·(dγ)/(dt)(t) =

    (Con il punto indico il prodotto scalare, svolgendo i conti)

    partial_x f(φ(t), ρ(t)) φ'(t)+ partial_y f(φ(t), ρ(t)) ρ'(t)

    Quindi il nostro integrale si scrive come

    ∫_a^b (d f(γ(t)))/(dt)dt = f(γ(b))-f(γ(a)) =

    f(φ(b), ρ(b))-f(φ(a), ρ(a))

     

    Va un po' meglio?

    [Note]: Ho utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale

    Risposta di Ifrit

  • E abbiamo questa particolare forma per la derivazione della funzione composta perchè f è scalare e gamma vettoriale?

    Risposta di Neumann

  • Esattamente! :)

    Risposta di Ifrit

  • Benissimo, grazie mille!

    Risposta di Neumann
 
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