Matrice invertibile avendo il prodotto di matrici?

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Ragazzi, ma ho un quesito sulle matrici invertibili conoscendo il prodotto di due matrici e il determinante di una delle due. Mi aiutate?

 

Ho queste due domande:

 

Siano A e B delle matrice quadrate:

-se AB=Id e |B|≠0, allora A non è invertibile

-se AB=Id e |A|≠ 0, allora B è invertibile

 

Sapreste dirmi se sono vere o false e soprattutto perché la risposta è così?

Domanda di mery

 
Soluzioni

  • Ciao mery arrivo :)

    Risposta di Ifrit

  • • Se A B=\Omega, |B|\ne 0 allora A non è invertibile:

    Vero!

    Da

    A B=\Omega\implies |A B|= |\Omega|=0

    Dal teorema di Binet sappiamo che:

    |AB|= |A||B|

    Dunque 

    |AB|=0\implies |A||B|=0

    Per ipotesi sappiamo che |B|\ne0

    dividendo membro a membro per |B|\ne 0 abbiamo:

    |A|=0 poiché il determinante della matrice A è nullo allora non è invertibile.

    • L'altra è falsa, puoi ripetere il ragionamento scambiando i ruoli di A e di B otterrai che

    |B|=0 quindi non è invertibile

    Risposta di Ifrit
 
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