Soluzioni
  • Ciao WhiteC, arrivo subito a risponderti. Prima però devo chiederti una cosa: sai dedurre la direzione di una retta conoscendone le sole equazioni cartesiane. Questa informazione mi serve per formulare la risposta più adeguata...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • umh no,diciamo  che ora sto affrontando il discorso delle rette

    Risposta di WhiteC
  • Ci sono tante cose da dire, in questo caso. Non voglio buttare troppa carne sul fuoco qui, quindi mi limito a passarti le nozioni teoriche minime che servono per svolgere l'esercizio e a mettere in pratica lo svolgimento. La geometria dello spazio è molto più "complicata" rispetto alla geometria del piano!

    Una retta nello spazio si può scrivere in forma cartesiana, cioè mettendo a sistema le equazioni di due piani, oppure in forma parametrica, cioè specificando un punto che appartiene alla retta e una direzione parallela alla retta.

    Le equazioni cartesiane della retta sono della forma

    ax+by+cz+d=0

    a'x+b'y+c'z+d'=0

    come nel caso della seconda retta. Cosa ci dicono? Che la retta viene individuata mediante l'intersezione di due piani, quelli descritti dalle due equazioni.

    Le equazioni parametriche della retta, invece, sono della forma

    x=x_P+tv_1

    y=y_P+tv_2

    z=z_P+tv_3

    dove P=(x_P,y_P,z_P) e (v_1,v_2,v_3) sono rispettivamente un punto appartenente alla retta e una direzione parallela alla direzione della retta.

    Per passare dalle equazioni cartesiane alle parametriche, che permettono agevolmente di dedurre la direzione parallela a quella della retta, bisogna assegnare un parametro ad una delle variabili nelle equazioni cartesiane ed esprimere le restanti variabili in termini di tale parametro. Nel caso della retta

    x+y+z=2

    x-y-z=0

    assegnamo, ad esempio, z=t e risolvendo il sistema di due variabili in due incognite che ne risulta otteniamo

    x=1

    y=1-t

    z=t

    Questo ci dice che la retta s passa per il punto (1,1,0) e ha direzione data da (0,-1,1). Se confrontiamo tale direzione con la direzione della prima retta (r), che è data da (-1,1,-1), troviamo che le due rette non sono parallele perché non possiamo esprimere una direzione come multiplo dell'altra.

    Ora, proviamo a sostiuire le equazioni parametriche della prima retta nelle equazioni cartesiane della seconda. così facendo, si trova che non esiste un valore del parametro t tale da essere soluzione delle due equazioni in t che ne risultano, quindi le due rette r,s non sono incidenti, e non essendo nemmeno parallele, sono sghembe.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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