Rette parallele, incidenti o sghembe?

Question

Vorrei capire come stabilire la posizione reciproca di due rette nello spazio nel caso in cui una è espressa in forma parametrica e l'altra in forma cartesiana. Potreste spiegarmelo usando il seguente esercizio come guida? Grazie! Dire se le seguenti rette dello spazio tridimensionale euclideo sono incidenti, parallele o sghembe ; r: x = 1-t ; y = t ; z = 3-t con t∈R ; s: 2x+y+z = 2 ; x-y-z = 0 Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Studiamo la posizione reciproca delle rette

r: x = 1-t ; y = t ; z = 3-t con t∈R ; s: 2x+y+z = 2 ; x-y-z = 0

usando il seguente ragionamento: ricaveremo un vettore direttore per e uno per e se sono tra loro proporzionali, possiamo immediatamente affermare che sono rette parallele. In caso contrario, continuiamo lo studio impostando il sistema composto delle equazioni delle due rette: se esiste un numero reale che lo soddisfa, allora le rette sono incidenti.

Infine, se non sono né parallele, né incidenti, allora dovranno essere necessariamente rette sghembe.

Dopo questo preambolo, occupiamoci del problema ricavando innanzitutto il vettore direttore naturalmente associato alla rappresentazione parametrica della retta , ossia quel vettore composto dai coefficienti del parametro

Per ricavare un vettore che individua la direzione della retta , determiniamo innanzitutto i vettori dei parametri direttori dei piani che la definiscono.

Al piano associamo

vale a dire quel vettore che ha per componenti i coefficienti di

Al piano associamo

Grazie a siamo in grado di determinare un vettore parallelo a e dunque potrà ricoprire il ruolo di vettore direttore: basta infatti calcolare il prodotto vettoriale definito come il determinante della matrice avente per prima riga i versori

v_(s) = n_(π_1)×n_(π_2) = det[i j k ; 2 1 1 ; 1 -1 -1] = i ,det[1 1 ;-1 -1]-j ,det[2 1 ; 1 -1]+k ,det[2 1 ; 1 -1] = [-1+1]i-[-2-1]j+[-2-1]k = 0i+3j-3k

pertanto

Osserviamo a questo punto che non sono vettori proporzionali, di conseguenza le rette non sono parallele: possono essere quindi o incidenti o sghembe.

Per stabilire se sono incidenti, consideriamo il sistema composto dalle equazioni della retta e da quelle di

x = 1-t ; y = t ; z = 3-t ; 2x+y+z = 2 ; x-y-z = 0

e risolviamolo in favore di sostituendo le espressioni nella quarta e nella quinta equazione

x = 1-t ; y = t ; z = 3-t ; 2(1-t)+t+(3-t) = 2 ; 1-t-t-(3-t) = 0

da cui

x = 1-t ; y = t ; z = 3-t ; t = (3)/(2) ; t = -2

Confrontando le ultime due relazioni, deduciamo che il sistema è impossibile, per cui le due rette non possono essere incidenti.

Non essendo incidenti, né parallele, concludiamo che le due rette devono essere necessariamente sghembe.