Esercizio potenza 21-esima di un numero complesso
Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sul calcolo della potenza di un numero complesso di cui riesco a ricavare la forma algebrica. Per calcolarla avevo pensato di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e di usare in seguito la formula di De Moivre. Secondo voi, va bene?
Sia 
un numero complesso non nullo tale che
Calcolare la potenza 
.
Grazie.
Il primo passo prevede di ricavare la forma algebrica del numero complesso
a partire dall'uguaglianza.Passiamo ai reciproci dei due membri
e rendiamo reale il denominatore moltiplicando e dividendo il secondo membro per il coniugato del denominatore
Svolgiamo il prodotto tra i numeri complessi
e 
dunque
è
A questo punto passiamo dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. La parte reale e la parte immaginaria di
valgono rispettivamente
e con questi valori siamo in grado di determinare sia modulo e argomento del numero complesso. Per definizione, il modulo di
coincide con la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale e quello della parte immaginaria
Per quanto concerne l'argomento
, esso è l'unico angolo di 
che soddisfa il sistema goniometrico
vale a dire
Noti
possiamo scrivere la forma goniometrica di 
Usiamo infine la formula di De Moivre
grazie alla quale ricaviamo
Sfruttando infine la periodicità delle funzioni goniometriche otteniamo la potenza richiesta.
Abbiamo finito.
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