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  • Ciao Volpi arrivo! :D

    Risposta di Ifrit
  •  

    \frac{1}{z}= \frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1-i \sqrt{3}}{2}

    Implica che:

    z= \frac{2}{1-i \sqrt{3}}= \frac{2(1+i \sqrt{3})}{(1-i \sqrt{3})(1+i \sqrt{3})}=

    = 2(1+i \sqrt{3})/4= \frac{1}{2}(1+i \sqrt{3})= \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}

     

    Scriviamo il numero in forma esponenziale, per farlo abbiamo bisogno del modulo e dell'argomento:

    r=1

    \theta=\frac{\pi}{3}

    Dunque:

    z= r e^{i \theta}= e^{i\frac{\pi}{3}}

    Di conseguenza:

    z^{21}= (e^{i\frac{\pi}{3} })^{21}= e^{7i\pi}= -1

     

    Dobbiamo quindi calcolare le radici cubiche di -1

    \sqrt[3]{z^{21}}= \sqrt[3]{-1}

    A questo punto devi utilizzare la solita procedura per il calcolo delle radici n-esime di un  numero complesso, ci provi da solo? ;)

    Risposta di Ifrit
  • un'ultima cosa: come hai fatto a trovare la frma esponenziale?(modulo ed argomento? )?

     

    Risposta di Volpi
  • Il modulo di un numero complesso a+i b è per definizione:

    r= \sqrt{a^2+b^2}

    Nel nostro caso il numero complesso era:

    \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}

    Dunque a= \frac{1}{2}\implies a^2= \frac{1}{4}

    b= \frac{\sqrt{3}}{2}\implies b^2= \frac{3}{4}

    Pertanto:

    r= \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}= 1

     

    Per l'argomento:

    \theta= \begin{cases}\arctan\left(\frac{b}{a})&\mbox{ se } a>0\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi &\mbox{ se }a<0\end{cases}

    Nel nostro caso a=1/2>0 quindi dobbiamo utilizzare la prima legge:

    \theta=\arctan\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right)= \arctan(\sqrt{3})= \frac{\pi}{3}

    Ti torna? 

    Risposta di Ifrit
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