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  • Ciao remaxer arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo un fascio di rette

    f:(k+2)x+ (2-k)y+3-k=0

    Dobbiamo determinare quel valore di k tale che una retta del  fascio f sia perpendicolare alla retta r di equazione r: 2x+3y-4=0

    Dobbiamo utilizzare la condizione di perpendicolarità:

    Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1:

    Il coefficiente angolare della generica retta del fascio è:

    m_f= -\frac{k+2}{2-k}

    Mentre il coefficiente angolare della retta r è:

    m_r= -\frac{2}{3}

    m_r m_f= -1\implies m_f= -\frac{1}{m_r}

    Da cui otteniamo l'equazione in k:

    -\frac{k+2}{2-k}= -\frac{1}{-\frac{2}{3}}\implies \frac{k+2}{2-k}= -\frac{3}{2}

    Risolviamola:

    \frac{k+2}{2-k}+\frac{3}{2}=0

    Minimo comun denominatore:

    \frac{2(k+2)+3(2-k)}{2(2-k)}=0

    Una frazione è uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero:

    2(k+2)+3(2-k)=0

    2k+4+6-3k=0

    -k+10=0

    k=10

    La retta del fascio perpendicolare a r è:

    f:12x-8y+7=0

     

    2. In questo caso dobbiamo determinare la retta del fascio che incontra la retta x+4y-1=0 nel punto  di ordinata 1.

    Determiniamo l'ascisa del punto di ordinata 1:

    x+4(1)-1=0\implies x= -3

    Il punto di intersezione ha coordinate:

    P(-3, 1)

    Pertanto il punto P deve appartenere al fascio, imponiamo quindi la condizione di appartenenza:

    (k+2)\cdot (-3)+(2-k)\cdot 1+3-k=0

    -3k-6+2-k+3-k=0

    sommiamo i termini simili:

    -5k -1=0\implies k= -\frac{1}{5}

    Benissimo, sostituiamo il k ottenuto per avere la retta che ci interessa:

    f:(-\frac{1}{5} +2)x+ (2+\frac{1}{5})y+3+\frac{1}{5}=0

    \frac{9}{5}x+\frac{11}{5} y +\frac{16}{5}=0

    o equivalentemente:

    9 x+11 y +16=0

    Risposta di Ifrit
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