Semplificazione di un'espressione con le formule goniometriche

Per semplificare l'espressione trigonometrica,

si deve usare la formula di sommazione degli angoli della tangente.

Fortunatamente la tangente di è un valore notevole della funzione tangente, (nel caso servisse ecco i valori notevoli delle funzioni goniometriche)

Pertanto il termine

Per definizione di secante inoltre

Possiamo sostituire nell'espressione di partenza così da ottenere

Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

Per definizione di tangente di un angolo si ha che

e dunque

Concentriamoci per un momento sul termine

Scriviamo come , così da poter utilizzare la formula di duplicazione del coseno.

Dentro le parentesi quadre troviamo una differenza di quadrati, che possiamo scomporre come segue

In definitiva possiamo riscrivere

come

Semplifichiamo a croce

Scriviamo come il rapporto di seno e coseno, e calcoliamo la differenza all'interno della parentesi quadra

Per le proprietà delle potenze, possiamo distribuire l'esponente sia al numeratore che al denominatore

Semplifichiamo a croce il quadrato del coseno

Espandiamo il quadrato, utilizzando la regola del quadrato di binomio:

Per la relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

di conseguenza

E per la formula di duplicazione del seno

Pertanto

Ora possiamo concludere l'esercizio