Semplificazione di un'espressione con le formule goniometriche

Salve, non so da dove partire per semplificare questa espressione goniometrica, e quale delle varie formule usare

$\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)+\tan(\alpha)}{\sec(\alpha)}$

Grazie!

In Superiori - Analisi - Domanda di 20elena02

Soluzioni

Per semplificare l'espressione trigonometrica,

$\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}+\tan(\alpha)\right)}{\mbox{sec}(\alpha)}$

si deve usare la formula di sommazione degli angoli della tangente.

$\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=$

Fortunatamente la tangente di $\frac{\pi}{4}$ è un valore notevole della funzione tangente, (nel caso servisse ecco i valori notevoli delle funzioni goniometriche)

$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

Pertanto il termine

$=\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Per definizione di secante inoltre

$\mbox{sec}(\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}\mbox{ con }\alpha\ne \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Possiamo sostituire nell'espressione di partenza così da ottenere

$=\left(\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}+\tan(\alpha)\right)\cos(\alpha)=$

Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

$=\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\cos(\alpha)+\tan(\alpha)\cos(\alpha)$

Per definizione di tangente di un angolo si ha che

$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

e dunque

$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot \cos(\alpha)=\sin(\alpha)$

Concentriamoci per un momento sul termine

$\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \cos(\alpha)$

Scriviamo $\cos(\alpha)$ come $\cos\left(2\cdot \frac{\alpha}{2}\right)$ , così da poter utilizzare la formula di duplicazione del coseno.

$\\ \cos\left(2\cdot \frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\\ \\=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\left[1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right]=$

Dentro le parentesi quadre troviamo una differenza di quadrati, che possiamo scomporre come segue

$=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\left(1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\left(1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

In definitiva possiamo riscrivere

$\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \cos(\alpha)$

come

$\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\left(1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\left(1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=$

Semplifichiamo a croce

$\\ \left[1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right]\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\left(1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)=\\ \\ \\=\left[1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right]^2\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Scriviamo $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ come il rapporto di seno e coseno, e calcoliamo la differenza all'interno della parentesi quadra

$\\ =\left[1-\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right]^2\cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\\ \\ \\=\left[\frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right]^2\cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=$

Per le proprietà delle potenze, possiamo distribuire l'esponente sia al numeratore che al denominatore

$=\frac{\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}{\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Semplifichiamo a croce il quadrato del coseno

$=\left(\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2$

Espandiamo il quadrato, utilizzando la regola del quadrato di binomio:

$=\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Per la relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1$

di conseguenza

$\\ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)+\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\\ \\ \\=1-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=$

E per la formula di duplicazione del seno

$\\ =1-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\\ \\ \\=1-\sin(\alpha)$

Pertanto

$\frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \cos(\alpha)=1-\sin(\alpha)$

Ora possiamo concludere l'esercizio

$\\ \frac{1-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\cos(\alpha)+\tan(\alpha)\cos(\alpha)=\\ \\ \\=1-\sin(\alpha)+\sin(\alpha)=1$

Risposta di Ifrit