Soluzioni
  • Il polinomio di Taylor di una funzione f(x) nell'intorno di un punto x_0, se abbiamo a che fare con una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema nel punto x_0, è dato da

    f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}

    dove f^{(n)}(x_0) indica la valutazione della derivata n-esima della funzione f(x) nel punto x=x_0, mentre n! è il fattoriale di n.

    Se vuoi leggere la spiegazione dettagliata dai un'occhiata qui: polinomio di Taylor.

    Si tratta prevalentemente di calcolare le derivate della funzione e di valutarle nel punto.

    Dato che non possiamo calcolare derivate all'infinito, ci si può arrestare ad un arbitrario ordine N di sviluppo e introdurre il resto della serie R_{N}(x,x_0), che può essere di due tipi: Peano o Lagrange.

    Essendo la funzione

    f(x)=\sqrt{x+1}

    abbiamo come derivata prima

    f^{(1)}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}

    come derivata seconda

    f^{(2)}(x)=-\frac{1}{4\sqrt{(x+1)^3}}

    come derivata terza

    f^{(3)}(x)=\frac{3}{8\sqrt{(x+1)^5}}

    Ora si tratta di valutare funzione, derivata prima, derivata seconda e derivata terza nel punto x_0=0

    \\ f(0)=1\\ \\ f^{(1)}(0)=\frac{1}{2}\\ \\ f^{(2)}(0)=-\frac{1}{4}\\ \\ f^{(3)}(0)=\frac{3}{8}

    Arrestando lo sviluppo al terzo ordine, non resta che sostituire questi valori nell'espressione, assieme a

    \\ 0!=1\\ \\ 1!=1\\ \\ 2!=2 \\ \\ 3!=6

    e assieme alle potenze

    \\ (x-0)^0=1\\ \\ (x-0)^1=x \\ \\ (x-0)^2=x^2 \\ \\ (x-0)^3=x^3

    per trovare che la funzione nell'intorno del punto x_0=0 ha sviluppo di Taylor

    f(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}+R(x,0)

    Il polinomio di Taylor associato alla funzione è:

    T(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}

    È importante tenere a mente che nell'espressione del polinomio di Taylor non deve comparire il resto, in nessuna forma.

    Risposta di Omega
  • Sei stato molto gentile, ho capito tutto e ti ringrazio!!! :)

    Risposta di lukett7
 
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