Espressione con proprietà delle potenze

Buongiorno, mi servirebbe una mano per risolvere un'espressione con le proprietà delle potenze: è questa

$\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)^{4}\times \left(3-\frac{1}{2}\right)^2\right]^2\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$

Potreste darmi una mano a risolverla? Grazie!!!

Domanda di franci26

Soluzioni

Ciao Franci26
$\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)^{4}\times \left(3-\frac{1}{2}\right)^2\right]^2\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
è un'espressione con le potenze e per risolverla ci occuperemo prima di tutto delle operazioni presenti nelle parentesi tonde
$\left[\left(\frac{5}{2}\right)^{4}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2\right]^2\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
Applichiamo ora la proprietà sul prodotto di due potenze che hanno la stessa base, se non la ricordassi, leggi la lezione sulle proprietà delle potenze:
$\left[\left(\frac{5}{2}\right)^{4+2}\right]^2\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
$\left[\left(\frac{5}{2}\right)^{6}\right]^2\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
Il primo termine dell'espressione è una potenza di una potenza, di conseguenza:
$\left(\frac{5}{2}\right)^{6\times 2}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
$\left(\frac{5}{2}\right)^{12}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\left(-\frac{5}{2}\right)^2\times \left(\frac{5}{4}\right)^4\right]^2-\frac{5}{2}$
Occupiamoci dell'altra coppia di parentesi quadre. Osserva che:
$\bullet\,\, \left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5^2}{2^2}$
Il segno meno è sparito perché l'esponente della potenza è un numero pari, ti invito a leggere la lezione sulla regola dei segni.
Inoltre
$\bullet\,\, \left(\frac{5}{4}\right)^{4}= \left(\frac{5}{2^2}\right)^4=\frac{5^4}{2^8}$
in questo modo l'espressione diventerà:
$\left(\frac{5}{2}\right)^{12}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\frac{5^2}{2^2}\times \frac{5^4}{2^{8}}\right]^2-\frac{5}{2}$
Per la proprietà sul prodotto di due potenze che hanno la stessa base avremo
$\left(\frac{5}{2}\right)^{12}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\frac{5^{2+4}}{2^{2+8}}\right]^2-\frac{5}{2}$
$\left(\frac{5}{2}\right)^{12}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\left[\frac{5^{6}}{2^{10}}\right]^2-\frac{5}{2}$
Portiamo a termine i conti nelle parentesi quadre
$\left(\frac{5}{2}\right)^{12}\times \left(\frac{5}{2}\right)^2:\frac{5^{12}}{2^{20}}-\frac{5}{2}$
Eseguiamo la moltiplicazione tra le due potenze
$\left(\frac{5}{2}\right)^{14}:\frac{5^{12}}{2^{20}}-\frac{5}{2}$
$\frac{5^{14}}{2^{14}}:\frac{5^{12}}{2^{20}}-\frac{5}{2}$
Utilizziamo eseguiamo la divisione tra le potenze
$\frac{5^{14-12}}{2^{14-20}}-\frac{5}{2}= \frac{5^{6}}{2^{-6}}-\frac{5}{2}=$
Attenzione alla potenza con esponente negativo.
$5^{2}\times 2^{6}-\frac{5}{2}=25\times 64-\frac{5}{2}= 1600-\frac{5}{2}=\frac{3195}{2}$
Ecco fatto. :)
PS: puoi controllare i risultati delle espressioni successive utilizzando la nostra calcolatrice online. ;)
Risposta di Ifrit

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