Metodo delle tangenti

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Salve a tutti, mi servirebbe una mano nell'applicazione del metodo delle tangenti.

 

Data la funzione polinomiale p(x)=x^3-3x-3 motivare il fatto che esiste una sola soluzione reale alpha dell'equazione   p(x)=0 e che alpha appartiene all'intervallo (2,3).

 

Trovare poi una prima approssimazione x1 di alpha eseguendo un passo dell'algoritmo delle tangenti a partire da x0=3.

 

(C'entra Weierstrass con la prima domanda?)

Domanda di Volpi

 
Soluzioni

  • Ciao Volpi, arrivo a risponderti (con la prima domanda, c'entra il teorema degli zeri di Bolzano).

    Risposta di Omega

  • Prima di tutto: la funzione che stiamo considerando, alias il polinomio

    P(x) = x^3-3x-3

    è continuo sull'intervallo (2,3) (naturalmente, su tutto R, ma vabbè...) e assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto:

    P(2) = -1

    P(3) = 15

    Il teorema degli zeri di Bolzano assicura l'esistenza di una radice nell'intervallo considerato, ossia di una soluzione dell'equazione P(x) = 0.

    Ora: metodo delle tangenti di Newton-Raphson. Ne conosci le ipotesi?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non me le ricordo.

    So solo che è più veloce del metodo di bisezione(di fatti con meno passi rispetto all'altro si avvicina di + alla soluzione)

     

    Risposta di Volpi

  • Quello certamente, infatti il metodo delle tangenti permette di determinare una successione che converge alla radice con ordine di convergenza 2.

    Le ipotesi da verificare sono che la funzione sia continua sull'intervallo [OK], derivabile due volte con continuità [OK, banale: è un polinomio], che le derivate prima e seconda non si annullino mai sull'intervallo e che la funzione abbia una sola radice sull'intervallo considerato.

    Calcoliamo le derivate della funzione

    P'(x) = 3x^2-3

    P''(x) = 6x

    Che le derivate prima e seconda non si annullino mai sull'intervallo (2,3), è evidente [OK]. Che la funzione abbia un solo zero nell'intervallo? Guardando la derivata prima P'(x), è sempre positiva su (2,3), quindi la funzione P(x) cresce sempre sull'intervallo e interseca l'asse delle ascisse una sola volta [OK].

    Ci siamo: partendo da un punto dell'intervallo, diciamo x_0 = 3 anche se è escluso, calcoliamo gli elementi della successione

    x_(n+1) = x_(n)-(P(x_n))/(P'(x_n))

    L'esercizio ci richiede solamente di calcolare

    x_(1) = x_(0)-(P(3))/(P'(3)) = 3-(15)/(24) = (19)/(8)

    Fine!

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Perfetto grazie mille!!!!!

     

    Risposta di Volpi
 
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