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  • Una produttoria è un simbolo matematico che permette di scrivere in modo compatto il prodotto di un numero finito o infinito di termini.

    La produttoria si indica con il simbolo Π, ossia con la lettera pi maiuscola dell'alfabeto greco. Per definire una produttoria, però, il solo simbolo non basta; la notazione completa prevede:

    - una lettera, k, chiamata indice di produttoria;

    - un'espressione matematica che dipende dall'indice k e che definisce i termini da moltiplicare. È detta solitamente con termine generale o ancora fattore generale della produttoria;

    - Due numeri interi n\ \mbox{ed} m, con n<m, detti rispettivamente indice inferiore e indice superiore. Essi definiscono l'intervallo dei valori in cui l'indice k varia, indicando così quanti e quali sono i fattori.

     

    Produttoria

    Simbolo di produttoria.

     

    Una scrittura come quella dell'immagine si legge: prodotto per k che varia tra n ed m di f(k) ed è definito come segue:

    \prod_{k=n}^{m}f(k)=f(n)\cdot f(n+1)\cdot f(n+2)\cdot ... \cdot f(m)

    Osserviamo che se n=m, ossia se l'indice inferiore coincide con l'indice superiore, la produttoria è uguale a f(n). Se, invece, n>m, cioè se l'indice inferiore è maggiore dell'indice superiore, la produttoria è convenzionalmente pari a 1.

    A volte ci si può trovare di fronte a situazioni inconsuete, in cui l'indice k assume valori non consecutivi: può capitare, ad esempio, che l'insieme in cui varia k

    - sia definito attraverso una o più condizioni cui deve sottostare l'indice;

    - sia rappresentato in maniera estensiva (vedasi rappresentazione estensiva di un insieme), esplicitando i valori che k assume;

    - sia illimitato, in tal caso si parla più propriamente di produttoria infinita, di cui non ci occuperemo in questa sede.

    Esempi di produttorie

    Prima di spiegare come si calcola, proponiamo qualche esempio di produttoria in modo da prendere maggiore confidenza con questa nuova notazione.

    \prod_{k=1}^{6}k, \quad \prod_{k=0}^{5}[k+2], \quad \prod_{k|18} \frac{k}{2}, \quad \prod_{k\in \{2,5,7\}} k^3, \quad \prod_{k=1}^{\infty}\left[1+\left(\frac{1}{4}\right)^k\right]

    sono tutti esempi di produttorie.

    Calcolo di una produttoria

    Lasciando da parte il caso in cui il cui simbolo in alto è +\infty, per calcolare una produttoria è sufficiente sostituire nell'espressione matematica i valori interi k dell'intervallo individuato dall'indice inferiore e l'indice superiore, per poi moltiplicare tra loro i numeri ottenuti.

    \prod_{k=1}^{6}k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

    L'indice k assume tutti i valori interi compresi tra 1\ \mbox{e}\  6, ecco perché abbiamo sostituito al posto di k i numeri naturali tra 1\ \mbox{e}\ 6, ottenendo così i vari fattori che abbiamo in seguito moltiplicato.

    \begin{align*}\prod_{k=0}^{5}[k+2] & = (0+2)\cdot (1+2)\cdot (2+2)\cdot (3+2)\cdot (4+2)\cdot (5+2) = \\ & = 2 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\end{align*}

    Sostituendo al posto di k i numeri interi compresi tra 0\ \mbox{e}\ 5, abbiamo ricavato i termini da moltiplicare.

    \prod_{k|18} \frac{k}{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{9}{2}\cdot\frac{18}{2} = \frac{729}{8}

    La scrittura k|18 indica che l'indice k deve dividere 18; i divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18, quindi per calcolare la precedente produttoria nell'espressione \left(\frac{k}{2}\right) abbiamo sostituito tali valori.

    \prod_{k\in\{2,5,7\}}k^3= 2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^3 = 8 \cdot 125 \cdot 343=343000

    L'indice di sommatoria appartiene all'insieme \{2,5,7\}; allora per calcolare la produttoria abbiamo sostituito gli elementi dell'insieme al posto di k.

     

    Un esempio notevole di produttoria è

    \prod_{k=1}^{n} k

    che definisce il fattoriale di n, infatti:

    \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot ... \cdot (n-1) \cdot n = n!

    Prodotti infiniti

    Si chiama prodotto infinito una produttoria in cui il simbolo in alto è il simbolo di infinito. Avendo a che fare con un numero infinito di fattori, sarebbe impossibile calcolare questo genere di produttoria con la semplice sostituzione: bisogna necessariamente ricorrere agli strumenti dell'Analisi Matematica.

    Proprietà della produttoria

    Riportiamo ora le proprietà di cui gode una produttoria.

    Proprietà associativa: se due o più produttorie hanno lo stesso intervallo di definizione, allora il prodotto delle produttorie è uguale alla produttoria del prodotto.

    \prod_{k=n}^{m}f(k) \cdot \prod_{k=n}^{m}g(k) = \prod_{k=n}^{m}[f(k)\cdot g(k)]

    Proprietà dissociativa: la produttoria di un prodotto è uguale al prodotto delle produttorie.

    \prod_{k=n}^{m}[f(k)\cdot g(k)] = \prod_{k=n}^{m}f(k) \cdot \prod_{k=n}^{m}g(k)

    Regola del trasporto fuori dalla produttoria: se all'interno della produttoria compare un fattore che non dipende dall'indice, allora si può portare fuori dalla produttoria, a patto di elevarlo alla differenza tra l'indice superiore e l'indice inferiore, aumentata di 1.

    \prod_{k=n}^{m}[\alpha \cdot f(k)]=\alpha^{m-n+1}\prod_{k=n}^{m}f(k)

    Scomposizione degli indici: variando in maniera opportuna gli indici, si può spezzare una produttoria nel prodotto di due o più produttorie. In altre parole, se n\le m_1\ \mbox{e} \ m_2>0, sussiste l'uguaglianza:

    \prod_{k=n}^{m_1+m_2}f(k) = \prod_{k=n}^{m_1}f(k)\cdot\prod_{k=m_1+1}^{m_1+m_2}f(k)

    Traslazione degli indici: si può cambiare a piacimento l'intervallo di definizione dell'indice a patto, però, di far variare di conseguenza l'espressione della sommatoria. Per ogni \ell\in\mathbb{Z}

    \prod_{k=n}^{m}f(k) = \prod_{k=n+\ell}^{m+\ell}f(k-\ell)

    Proprietà dei logaritmi: se f(k) è un'espressione positiva per ogni k\in\{n, \ n+1, \ ... , \ m\}, allora il logaritmo della produttoria degli f(k) è uguale alla sommatoria dei logaritmi di f(k)

    \\ \log_{a}\left(\prod_{k=n}^{m}f(k)\right)=\sum_{k=n}^{m}\log_{a}(f(k))

    dove a è un qualsiasi numero reale positivo e diverso da 1. Per sapere cos'è una sommatoria - click.

    Produttorie in Word, Excel e LaTeX

    Per scrivere una produttoria in Word o Excel si dovrà:

    - cliccare su Inserisci nella barra multifunzionale (la prima barra in alto);

    - cliccare su Equazione o Simbolo e scegliere il simbolo di produttoria.

    Il codice LaTeX che permette di inserire una produttoria è:

    \prod_{}^{} \left[ \right]

    Tra le prime due coppie di parentesi graffe si inseriscono i valori tra cui deve variare l'indice mentre tra \left[ e \right], che producono una coppia di parentesi quadre, si scrive l'espressione matematica della produttoria.

    Risposta di Galois
 
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