Soluzioni
  • Una produttoria è un simbolo matematico che permette di scrivere in modo compatto il prodotto di un numero finito o infinito di termini.

    La produttoria si indica con il simbolo Π, ossia con la lettera pi maiuscola dell'alfabeto greco. Per definire una produttoria, però, il solo simbolo non basta; la notazione completa prevede:

    - una lettera, chiamata indice di produttoria, che compare nell'espressione algebrica;

    - Un'espressione algebrica che dipende dall'indice di sommatoria la quale definisce i termini da moltiplicare.

    - Due numeri naturali n ed m che esprimono l'intervallo di valori tra cui varia l'indice indicando così quanti e quali sono i fattori.

     

    Produttoria

     

    Una scrittura come quella dell'immagine si legge: prodotto con k che varia tra n ed m di f(k).

    Come vedremo tra poco, a volte ci si può trovare di fronte a situazioni più generali in cui l'indice di produttoria non varia tra due numeri interi.

     

    Esempi di produttorie

    Prima di spiegare come si calcola proponiamo qualche esempio di produttoria in modo da prendere maggiore confidenza con questa nuova notazione.

    \prod_{k=1}^{6}k, \quad \prod_{k=0}^{5}[k+2], \quad \prod_{k|18} \frac{k}{2}, \quad \prod_{k\in \{2,5,7\}} k^3, \quad \prod_{k=1}^{\infty}\left[1+\left(\frac{1}{4}\right)^k\right]

    sono tutti esempi di produttorie.

     

    Calcolo di una produttoria

    Lasciando da parte il caso in cui il cui simbolo in alto è ∞, per calcolare una produttoria è sufficiente sostituire nell'espressione algebrica i vari valori interi dell'intervallo tra cui varia l'indice, per poi moltiplicare tra loro i numeri ottenuti.

    \prod_{k=1}^{6}k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

    L'indice k varia tra 1 e 6, quindi nell'espressione algebrica abbiamo sostituito al posto di k tutti i numeri naturali tra 1 e 6 ottenendo così i vari fattori.

    \begin{align*}\prod_{k=0}^{5}[k+2] & = (0+2)\cdot (1+2)\cdot (2+2)\cdot (3+2)\cdot (4+2)\cdot (5+2) = \\ & = 2 \cdot 3 \cdot 4  \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\end{align*}

    Sostituendo al posto di k i numeri interi compresi tra 0 ed 5, che sono i valori tra cui varia l'indice k, abbiamo ricavato i termini da moltiplicare.

    \prod_{k|18} \frac{k}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{81}{8}

    La scrittura k|18 indica che l'indice k deve dividere 18; i divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6 e 9 quindi per calcolare la precedente produttoria nell'espressione algebrica (k/2) abbiamo sostituito tali valori.

    \prod_{k\in\{2,5,7\}}k^3= 2^3 \cdot 5^3 \cdot 7^3 = 8+125+343=476

    L'indice di sommatoria appartiene all'insieme i cui elementi sono 2, 5 e 7; allora per calcolare la produttoria abbiamo sostituito gli elementi dell'insieme al posto di k.

     

    Prima di procedere oltre osserviamo che ogni produttoria della forma

    \prod_{k=1}^{n} k

    definisce il fattoriale di n, infatti

    \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n = n!

     

    Prodotti infiniti

    Si chiama prodotto infinito una produttoria in cui il simbolo in alto è il simbolo di infinito. Avendo a che fare con un numero infinito di fattori, sarebbe impossibile calcolare questo genere di produttoria procedendo come fatto poc'anzi e bisogna necessariamente ricorrere agli strumenti dell'Analisi Matematica.

     

    Proprietà della produttoria

    Riportiamo ora le proprietà di cui gode una produttoria.

    Proprietà associativa: se due o più produttorie hanno lo stesso intervallo di definizione, allora il prodotto delle produttorie è uguale alla produttoria del prodotto. 

    \prod_{k=n}^{m}f(k) \cdot \prod_{k=n}^{m}g(k) = \prod_{k=n}^{m}[f(k)\cdot g(k)]

    Proprietà dissociativa: la produttoria di un prodotto è uguale al prodotto delle produttorie.

    \prod_{k=n}^{m}[f(k)\cdot g(k)] = \prod_{k=n}^{m}f(k) \cdot \prod_{k=n}^{m}g(k)

    Proprietà distributiva: se all'interno della produttoria compare un fattore che non dipende dall'indice allora si può portare tale fattore fuori dalla produttoria; viceversa si può portare dentro la produttoria un fattore che la moltiplica.

    \alpha \cdot \prod_{k=n}^{m}f(k) = \prod_{k=n}^{m}[\alpha \cdot f(k)]

    Scomposizione degli indici: variando in maniera opportuna gli indici si può spezzare una produttoria nel prodotto di due o più produttorie.

    \prod_{k=n}^{m_1+m_2}f(k) = \prod_{k=n}^{m_1}f(k)+\prod_{k=m_1+1}^{m_2}f(k)

    Traslazione degli indici: si può cambiare a piacimento l'intervallo di definizione dell'indice a patto, però, di far variare di conseguenza l'espressione algebrica della sommatoria.

    \prod_{k=n}^{m}f(k) = \prod_{k=n+\ell}^{m+\ell}f(k-\ell)

     

    Produttorie in Word, Excel e LaTeX

    Per scrivere una produttoria in Word o Excel si dovrà:

    - cliccare su Inserisci nella barra multifunzionale (la prima barra in alto);

    - cliccare su Equazione o Simbolo e scegliere il simbolo di sommatoria.

     

    Il codice LaTeX che permette di inserire una produttoria è:

    \prod_{}^{} \left[ \right]

    Tra le prime due coppie di parentesi graffe si inseriscono i valori tra cui deve variare l'indice mentre tra \left[ e right], che producono una coppia di parentesi quadre, si scrive l'espressione algebrica della produttoria.

     

    Per sapere cos'è una sommatoria - click!

    Risposta di Galois
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